3. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ DB $ 是 $ AC $ 的垂直平分线。
(1) 写出图中相等的边和角。
(2) 若 $ AC $ 也是 $ BD $ 的垂直平分线，用直尺和圆规作一个满足以上条件的四边形 $ ABCD $。

(1) 相等的边：DA=DC，BA=BC，AE=EC；相等的角：∠AED=∠CED=∠AEB=∠CEB=90°，∠DAE=∠DCE，∠ADE=∠CDE，∠BAE=∠BCE，∠ABE=∠CBE。
(2) 作图步骤：①作线段AC；②作AC的垂直平分线MN，交AC于点E；③在MN上截取EB=ED（E为BD中点）；④连接AB、BC、CD、DA，四边形ABCD即为所求。

【分析】
对于(1)，我们可以结合垂直平分线的定义和性质来推导相等的边和角：首先，DB是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的定义，它垂直且平分AC，由此可得AC被平分的线段相等，且相关夹角为直角；再根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，能得到两组相等的边；最后结合等腰三角形三线合一的性质，可得出对应的角相等。
对于(2)，要作出满足条件的四边形，本质是构造对角线互相垂直平分的四边形，先作一条对角线，再作它的垂直平分线，然后在垂直平分线上取另一条对角线，保证两条对角线互相平分，最后连接各边即可。
【解析】
(1) 寻找相等的边和角：
相等的边：
因为DB是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，点D、B在AC的垂直平分线上，所以$DA=DC$，$BA=BC$；
根据垂直平分线的定义，垂直平分线平分线段AC，所以$AE=EC$。
相等的角：
由垂直平分线的定义可知$DB⊥ AC$，因此$∠ AED=∠ CED=∠ AEB=∠ CEB=90°$；
在等腰$△ DAC$中，DE是AC边上的中线、高和角平分线（三线合一），所以$∠ DAE=∠ DCE$，$∠ ADE=∠ CDE$；
在等腰$△ BAC$中，BE是AC边上的中线、高和角平分线（三线合一），所以$∠ BAE=∠ BCE$，$∠ ABE=∠ CBE$。
(2) 作图步骤：
① 用直尺作线段$AC$；
② 分别以点$A$、$C$为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径画弧，两弧分别交于$M$、$N$两点，作直线$MN$，则$MN$是$AC$的垂直平分线，交$AC$于点$E$；
③ 在直线$MN$上截取$EB=ED$（点$B$、$D$位于$AC$两侧）；
④ 用直尺连接$AB$、$BC$、$CD$、$DA$，四边形$ABCD$即为所求。
【答案】
(1) 相等的边：$DA=DC$，$BA=BC$，$AE=EC$；
相等的角：$∠ AED=∠ CED=∠ AEB=∠ CEB=90°$，$∠ DAE=∠ DCE$，$∠ ADE=∠ CDE$，$∠ BAE=∠ BCE$，$∠ ABE=∠ CBE$。
(2) 按照上述作图步骤作出的四边形$ABCD$即为满足条件的图形。
【知识点】
1. 垂直平分线的性质
2. 等腰三角形三线合一
3. 尺规作图（作垂直平分线）
【点评】
本题重点考查垂直平分线的定义与性质、等腰三角形的性质以及基础尺规作图操作，第一问需要全面结合几何性质梳理相等的边和角，培养严谨的几何推导能力；第二问需要理解对角线互相垂直平分的四边形的构造逻辑，提升几何图形的实践构造能力。
【难度系数】
0.7

4. 如图，用直尺和圆规分别过点 $ P $ 作直线 $ l $ 的垂线。

图①（点P在直线l上）：
1. 以点P为圆心，任意长为半径画弧，交直线l于A、B两点；
2. 分别以A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧在直线l两侧交于点C、D；
3. 连接CD，直线CD即为过点P垂直于l的垂线。
图②（点P在直线l外）：
1. 以点P为圆心，适当长为半径画弧，交直线l于A、B两点；
2. 分别以A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧在直线l另一侧交于点Q；
3. 连接PQ，直线PQ即为过点P垂直于l的垂线。

【分析】
首先明确点P与直线l的位置关系，分为点P在直线l上和点P在直线l外两种情况。根据“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”的原理，借助圆规画弧确定满足条件的点，再用直尺连接得到垂线。对于点在直线上的情况，先在直线上截取关于P对称的两点，再作这两点的垂直平分线；对于点在直线外的情况，通过画弧找到直线另一侧的等距点，连接后得到垂线。
【解析】
图①（点P在直线l上）：
1. 以点P为圆心，任意长为半径画弧，交直线l于A、B两点；
2. 分别以A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧在直线l两侧交于点C、D；
3. 用直尺连接C、D，直线CD即为过点P且垂直于直线l的垂线。
图②（点P在直线l外）：
1. 以点P为圆心，适当长为半径画弧，交直线l于A、B两点；
2. 分别以A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧在直线l的另一侧交于点Q；
3. 用直尺连接P、Q，直线PQ即为过点P且垂直于直线l的垂线。
【答案】
按照上述作图步骤作出的直线CD（图①）、直线PQ（图②）即为所求的垂线。
【知识点】
尺规作垂线，线段垂直平分线判定
【点评】
本题是基础尺规作图题，需区分点在直线上和直线外两种情况的作图方法，作图时要注意圆规半径的取值要求（大于$\frac{1}{2}AB$的长，确保两弧能相交），理解作图的几何依据，避免步骤混淆。
【难度系数】
0.3

5. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ AB = AC $，用直尺和圆规作 $ BC $ 的垂直平分线，你有哪些方法？

方法一：
1. 分别以点B、C为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$长为半径作弧，两弧在BC两侧分别交于点M、N；
2. 作直线MN，直线MN即为BC的垂直平分线。
方法二：
1. 以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB、AC于点D、E；
2. 分别以点D、E为圆心，大于$\frac{1}{2}DE$长为半径作弧，两弧在$∠ BAC$内部交于点F；
3. 作直线AF，直线AF即为BC的垂直平分线（依据等腰三角形三线合一）。

【分析】
要作BC的垂直平分线，可从两个方向思考：一是利用线段垂直平分线的通用尺规作图逻辑，依据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”来作图；二是结合△ABC是等腰三角形（AB=AC）的特性，利用等腰三角形“三线合一”的性质，通过作顶角平分线得到BC的垂直平分线。
【解析】
方法一（通用线段垂直平分线作法）：
1. 分别以点B、C为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$长为半径作弧，两弧在BC两侧分别交于点M、N；
2. 作直线MN，直线MN即为BC的垂直平分线。
方法二（利用等腰三角形特殊性质）：
1. 以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB、AC于点D、E；
2. 分别以点D、E为圆心，大于$\frac{1}{2}DE$长为半径作弧，两弧在$∠ BAC$内部交于点F；
3. 作直线AF，直线AF即为BC的垂直平分线（依据等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形顶角的平分线与底边上的垂直平分线重合）。
【答案】
方法一：
1. 分别以点B、C为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$长为半径作弧，两弧在BC两侧分别交于点M、N；
2. 作直线MN，直线MN即为BC的垂直平分线。
方法二：
1. 以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB、AC于点D、E；
2. 分别以点D、E为圆心，大于$\frac{1}{2}DE$长为半径作弧，两弧在$∠ BAC$内部交于点F；
3. 作直线AF，直线AF即为BC的垂直平分线（依据等腰三角形三线合一）。
【知识点】
线段垂直平分线作法，等腰三角形三线合一
【点评】
本题给出两种作线段垂直平分线的思路，一种是适用于所有线段的通用方法，另一种是结合等腰三角形特性的简化方法，能帮助学生区分通用作图与利用图形特殊性质作图的差异，提升几何知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8