例 如图 $ 9 - 10 $，已知线段 $ AB $，作线段 $ AB $ 的垂直平分线。

1. 分别以点 A、B 为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧分别相交于点 C、D。
2. 作直线 CD。
直线 CD 即为线段 AB 的垂直平分线。

【分析】
要作出线段AB的垂直平分线，我们可以依据“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”以及“两点确定一条直线”的原理来思考。首先需要找到两个到A、B两点距离相等的点，然后通过这两点作直线，这条直线就是AB的垂直平分线。具体操作时，我们可以用尺规作图的方式，以A、B为圆心画弧来找到这两个点。
【解析】
步骤如下：
1. 分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧分别相交于点C、D；
2. 作直线CD。
直线CD即为所求的线段AB的垂直平分线。
【答案】
直线CD是线段AB的垂直平分线
【知识点】
线段垂直平分线的作法，尺规作图
【点评】
本题考查线段垂直平分线的尺规作图，需注意作图时半径必须大于$\frac{1}{2}AB$，否则两弧无法相交；该作法的理论依据是“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”和“两点确定一条直线”，掌握此作法是后续复杂尺规作图的基础。
【难度系数】
0.8

1. 填空题：
(1) 如图，若直线 $ l $ 满足且，则直线 $ l $ 叫作线段 $ AB $ 的垂直平分线。


(2) 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ AB = AC = 8 $，$ BC = 6 $，分别以点 $ A $，$ B $ 为圆心，$ 5 $ 为半径画弧，两弧分别交于点 $ M $，$ N $，直线 $ MN $ 交 $ AC $ 于点 $ D $，连接 $ BD $，则 $ △ BCD $ 的周长为。

(1) 垂直于线段AB；平分线段AB (2) 14

(1) 垂直于线段AB；平分线段AB
(2) 由题意知MN是AB的垂直平分线，所以AD=BD。△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=6+8=14

2. 选择题：
(1) 已知 $ △ ABC $ 是直角三角形，$ AB ＞ BC ＞ AC $。用无刻度的直尺和圆规在边 $ BC $ 上确定一点 $ P $，使点 $ P $ 到点 $ A $，$ B $ 的距离相等，则符合要求的作图痕迹是()。

(2) 如图，已知线段 $ AB $，分别以点 $ A $，$ B $ 为圆心，$ 5 $ 为半径作弧相交于点 $ C $，$ D $。连接 $ CD $，点 $ E $ 在 $ CD $ 上，连接 $ CA $，$ CB $，$ EA $，$ EB $。若 $ △ ABC $ 与 $ △ ABE $ 的周长之差为 $ 4 $，则 $ AE $ 的长为()。
A. $ 4 $
B. $ 3 $

C. $ 2 $
D. $ 1 $

(1) D
(2) B

【分析】
(1) 要在BC上找一点P使PA=PB，根据垂直平分线的性质，到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上，因此需作AB的垂直平分线，该线与BC的交点即为点P，只需判断哪个选项的作图痕迹符合这一操作。
(2) 由作图可知AC=BC=5，且CD是AB的垂直平分线，故EA=EB。分别表示出△ABC和△ABE的周长，利用周长差为4建立方程，即可求解AE的长度。
【解析】
(1) 根据垂直平分线的性质，到A、B距离相等的点在AB的垂直平分线上，作AB的垂直平分线与BC交于点P，该点即为所求，对应选项D。
(2) ① 由作图得：AC=BC=5，CD垂直平分AB，根据垂直平分线的性质，得EA=EB；
② △ABC的周长为：AC+BC+AB=5+5+AB=10+AB；
③ △ABE的周长为：AE+EB+AB=2AE+AB（因EA=EB）；
④ 由周长差为4，列方程：(10+AB)-(2AE+AB)=4；
⑤ 化简方程：10-2AE=4，解得AE=3，故选B。
【答案】
(1) D；(2) B
【知识点】
垂直平分线的性质，垂直平分线作图
【点评】
本题主要考查垂直平分线的性质与作图的应用，第一题需结合性质判断作图痕迹，第二题需利用性质将线段转化，再通过周长差建立方程求解，整体侧重对基础知识点的理解与运用。
【难度系数】
0.7