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2. 我国古代数学的经典著作《九章算术》中有一道“盈不足术”问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。问人数、羊价各几何？”译文：今有人合伙买羊，若每人出 5 钱，还差 45 钱；若每人出 7 钱，还差 3 钱。问：合伙人数、羊的价格各是多少？
答案
设合伙人数为$x$人，羊价为$y$钱。
根据题意，得$\begin{cases}y = 5x + 45 \\ y = 7x + 3\end{cases}$
将第一个方程$y = 5x + 45$代入第二个方程$y = 7x + 3$，得：
$5x + 45 = 7x + 3$
$45 - 3 = 7x - 5x$
$42 = 2x$
$x = 21$
把$x = 21$代入$y = 5x + 45$，得$y = 5×21 + 45 = 105 + 45 = 150$
答：合伙人数为21人，羊价为150钱。
根据题意，得$\begin{cases}y = 5x + 45 \\ y = 7x + 3\end{cases}$
将第一个方程$y = 5x + 45$代入第二个方程$y = 7x + 3$，得：
$5x + 45 = 7x + 3$
$45 - 3 = 7x - 5x$
$42 = 2x$
$x = 21$
把$x = 21$代入$y = 5x + 45$，得$y = 5×21 + 45 = 105 + 45 = 150$
答：合伙人数为21人，羊价为150钱。
解析
【分析】
这是一道二元一次方程组的实际应用问题，解题思路如下：
1. 明确未知量：题目要求求解合伙人数和羊的价格，因此将这两个量设为未知数。
2. 提取等量关系：根据两种出资情况分析，“每人出5钱，还差45钱”，说明羊价等于每人出的钱数乘以人数再加上所差的钱，即羊价=5×人数+45；“每人出7钱，还差3钱”，同理可得羊价=7×人数+3。
3. 列方程组并求解：依据上述两个等量关系列出二元一次方程组，再通过代入消元法解方程组，即可得出合伙人数和羊价。
【解析】
设合伙人数为$x$人，羊价为$y$钱。
根据题意，得$\begin{cases}y = 5x + 45 \\ y = 7x + 3\end{cases}$
将第一个方程$y = 5x + 45$代入第二个方程$y = 7x + 3$，得：
$5x + 45 = 7x + 3$
移项可得：$45 - 3 = 7x - 5x$
合并同类项得：$42 = 2x$
解得：$x = 21$
把$x = 21$代入$y = 5x + 45$，得$y = 5×21 + 45 = 105 + 45 = 150$
答：合伙人数为21人，羊价为150钱。
【答案】
合伙人数为21人，羊价为150钱。
【知识点】
二元一次方程组的应用、代入消元法
【点评】
本题源自古代“盈不足术”问题，需将实际问题转化为二元一次方程组模型求解，核心是准确提取题目中的等量关系，有助于提升用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
这是一道二元一次方程组的实际应用问题，解题思路如下：
1. 明确未知量：题目要求求解合伙人数和羊的价格，因此将这两个量设为未知数。
2. 提取等量关系：根据两种出资情况分析，“每人出5钱，还差45钱”，说明羊价等于每人出的钱数乘以人数再加上所差的钱，即羊价=5×人数+45；“每人出7钱，还差3钱”，同理可得羊价=7×人数+3。
3. 列方程组并求解：依据上述两个等量关系列出二元一次方程组，再通过代入消元法解方程组，即可得出合伙人数和羊价。
【解析】
设合伙人数为$x$人，羊价为$y$钱。
根据题意，得$\begin{cases}y = 5x + 45 \\ y = 7x + 3\end{cases}$
将第一个方程$y = 5x + 45$代入第二个方程$y = 7x + 3$，得：
$5x + 45 = 7x + 3$
移项可得：$45 - 3 = 7x - 5x$
合并同类项得：$42 = 2x$
解得：$x = 21$
把$x = 21$代入$y = 5x + 45$，得$y = 5×21 + 45 = 105 + 45 = 150$
答：合伙人数为21人，羊价为150钱。
【答案】
合伙人数为21人，羊价为150钱。
【知识点】
二元一次方程组的应用、代入消元法
【点评】
本题源自古代“盈不足术”问题，需将实际问题转化为二元一次方程组模型求解，核心是准确提取题目中的等量关系，有助于提升用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
3. 小明、小丽一起去文具店购买学习用品，根据他们的对话，求出 1 本笔记本和 1 支水笔的价格。
小明：“我买了 1 本笔记本和 4 支水笔，共花了 18 元。”
小丽：“我买了 1 本笔记本和 1 支水笔，刚好花了 6 元。”
小明：“我买了 1 本笔记本和 4 支水笔，共花了 18 元。”
小丽：“我买了 1 本笔记本和 1 支水笔，刚好花了 6 元。”
答案
设1本笔记本的价格为$x$元，1支水笔的价格为$y$元。
根据题意，得：
$\begin{cases}x + 4y = 18 \\x + y = 6\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程：
$(x + 4y) - (x + y) = 18 - 6$
$3y = 12$
$y = 4$
将$y = 4$代入$x + y = 6$：
$x + 4 = 6$
$x = 2$
答：1本笔记本的价格为2元，1支水笔的价格为4元。
根据题意，得：
$\begin{cases}x + 4y = 18 \\x + y = 6\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程：
$(x + 4y) - (x + y) = 18 - 6$
$3y = 12$
$y = 4$
将$y = 4$代入$x + y = 6$：
$x + 4 = 6$
$x = 2$
答：1本笔记本的价格为2元，1支水笔的价格为4元。
解析
【分析】
这是一道二元一次方程组的实际应用问题，解题思路如下：首先，题目中有两个未知量（1本笔记本的价格和1支水笔的价格），我们可以设这两个未知量分别为$x$元和$y$元；然后根据小明和小丽的购买描述，提取出两个等量关系：1本笔记本的价格+4支水笔的价格=18元，1本笔记本的价格+1支水笔的价格=6元，据此列出二元一次方程组；最后利用加减消元法消去其中一个未知数，先求出一个未知量的值，再代入方程求出另一个未知量的值即可。
【解析】
设1本笔记本的价格为$x$元，1支水笔的价格为$y$元。
根据题意，得：
$\begin{cases}x + 4y = 18 \\x + y = 6\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程：
$(x + 4y) - (x + y) = 18 - 6$
$3y = 12$
解得$y = 4$
将$y = 4$代入$x + y = 6$：
$x + 4 = 6$
解得$x = 2$
答：1本笔记本的价格为2元，1支水笔的价格为4元。
【答案】
1本笔记本的价格为2元，1支水笔的价格为4元。
【知识点】
二元一次方程组的应用、加减消元法
【点评】
本题考查二元一次方程组在实际生活中的应用，关键是从对话中准确找到等量关系建立方程组，解法上利用加减消元法能快速求解，题目基础且贴近生活，便于理解掌握。
【难度系数】
0.8
这是一道二元一次方程组的实际应用问题，解题思路如下：首先，题目中有两个未知量（1本笔记本的价格和1支水笔的价格），我们可以设这两个未知量分别为$x$元和$y$元；然后根据小明和小丽的购买描述，提取出两个等量关系：1本笔记本的价格+4支水笔的价格=18元，1本笔记本的价格+1支水笔的价格=6元，据此列出二元一次方程组；最后利用加减消元法消去其中一个未知数，先求出一个未知量的值，再代入方程求出另一个未知量的值即可。
【解析】
设1本笔记本的价格为$x$元，1支水笔的价格为$y$元。
根据题意，得：
$\begin{cases}x + 4y = 18 \\x + y = 6\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程：
$(x + 4y) - (x + y) = 18 - 6$
$3y = 12$
解得$y = 4$
将$y = 4$代入$x + y = 6$：
$x + 4 = 6$
解得$x = 2$
答：1本笔记本的价格为2元，1支水笔的价格为4元。
【答案】
1本笔记本的价格为2元，1支水笔的价格为4元。
【知识点】
二元一次方程组的应用、加减消元法
【点评】
本题考查二元一次方程组在实际生活中的应用，关键是从对话中准确找到等量关系建立方程组，解法上利用加减消元法能快速求解，题目基础且贴近生活，便于理解掌握。
【难度系数】
0.8
4. 班级组织看甲、乙两部电影，购买 5 张甲电影票，35 张乙电影票，花了 1 150 元。现班里有同学不去看电影，于是退了 5 张乙电影票，这时实际花了 1 000 元。甲、乙两部电影的票价各是多少元？
答案
设甲电影票票价为$x$元，乙电影票票价为$y$元。
根据题意，得：
$\begin{cases}5x + 35y = 1150 \\5x + (35 - 5)y = 1000\end{cases}$
化简第二个方程：$5x + 30y = 1000$
用第一个方程减第二个方程：
$(5x + 35y) - (5x + 30y) = 1150 - 1000$
$5y = 150$
$y = 30$
将$y = 30$代入$5x + 30y = 1000$：
$5x + 30×30 = 1000$
$5x + 900 = 1000$
$5x = 100$
$x = 20$
答：甲电影票票价为20元，乙电影票票价为30元。
根据题意，得：
$\begin{cases}5x + 35y = 1150 \\5x + (35 - 5)y = 1000\end{cases}$
化简第二个方程：$5x + 30y = 1000$
用第一个方程减第二个方程：
$(5x + 35y) - (5x + 30y) = 1150 - 1000$
$5y = 150$
$y = 30$
将$y = 30$代入$5x + 30y = 1000$：
$5x + 30×30 = 1000$
$5x + 900 = 1000$
$5x = 100$
$x = 20$
答：甲电影票票价为20元，乙电影票票价为30元。
解析
【分析】
这道题存在两个未知量：甲、乙电影票的票价，适合用二元一次方程组求解。首先从题目中提取两个关键等量关系：①购买5张甲电影票和35张乙电影票总共花费1150元；②退5张乙电影票后，购买5张甲电影票和30张乙电影票总共花费1000元。先设甲、乙电影票的票价分别为x元和y元，依据等量关系列出方程组，再通过加减消元法消去x，先求出y的值，最后代入方程求出x的值即可。
【解析】
设甲电影票票价为$x$元，乙电影票票价为$y$元。
根据题意，得：
$\begin{cases}5x + 35y = 1150 \\5x + (35 - 5)y = 1000\end{cases}$
化简第二个方程：$5x + 30y = 1000$
用第一个方程减第二个方程：
$(5x + 35y) - (5x + 30y) = 1150 - 1000$
$5y = 150$
解得：$y = 30$
将$y = 30$代入$5x + 30y = 1000$：
$5x + 30×30 = 1000$
$5x + 900 = 1000$
$5x = 100$
解得：$x = 20$
答：甲电影票票价为20元，乙电影票票价为30元。
【答案】
甲电影票票价为20元，乙电影票票价为30元。
【知识点】
二元一次方程组的应用，加减消元法解方程组
【点评】
本题考查二元一次方程组的实际应用，核心是准确提取题目中的两次购票花费的等量关系，通过加减消元法可快速消去相同未知量，简化计算，考察学生将实际问题转化为数学方程的能力，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
这道题存在两个未知量：甲、乙电影票的票价，适合用二元一次方程组求解。首先从题目中提取两个关键等量关系：①购买5张甲电影票和35张乙电影票总共花费1150元；②退5张乙电影票后，购买5张甲电影票和30张乙电影票总共花费1000元。先设甲、乙电影票的票价分别为x元和y元，依据等量关系列出方程组，再通过加减消元法消去x，先求出y的值，最后代入方程求出x的值即可。
【解析】
设甲电影票票价为$x$元，乙电影票票价为$y$元。
根据题意，得：
$\begin{cases}5x + 35y = 1150 \\5x + (35 - 5)y = 1000\end{cases}$
化简第二个方程：$5x + 30y = 1000$
用第一个方程减第二个方程：
$(5x + 35y) - (5x + 30y) = 1150 - 1000$
$5y = 150$
解得：$y = 30$
将$y = 30$代入$5x + 30y = 1000$：
$5x + 30×30 = 1000$
$5x + 900 = 1000$
$5x = 100$
解得：$x = 20$
答：甲电影票票价为20元，乙电影票票价为30元。
【答案】
甲电影票票价为20元，乙电影票票价为30元。
【知识点】
二元一次方程组的应用，加减消元法解方程组
【点评】
本题考查二元一次方程组的实际应用，核心是准确提取题目中的两次购票花费的等量关系，通过加减消元法可快速消去相同未知量，简化计算，考察学生将实际问题转化为数学方程的能力，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
5. 用一根绳子环绕一棵大树。若环绕大树 3 周，则绳子还多 1.2 m；若环绕大树 4 周，则绳子少 0.8 m。这根绳子有多长？环绕大树 1 周需要多少米绳子？
答案
设这根绳子长$x$米，环绕大树1周需要$y$米绳子。
根据题意，得$\begin{cases}3y + 1.2 = x,\\4y - 0.8 = x.\end{cases}$
两式相减得：$4y - 0.8 - (3y + 1.2) = 0$，
化简得：$y - 2 = 0$，
解得$y = 2$。
将$y = 2$代入$3y + 1.2 = x$，
得$x = 3× 2 + 1.2$，
解得$x = 7.2$。
答：这根绳子长$7.2$米，环绕大树1周需要$2$米绳子。
根据题意，得$\begin{cases}3y + 1.2 = x,\\4y - 0.8 = x.\end{cases}$
两式相减得：$4y - 0.8 - (3y + 1.2) = 0$，
化简得：$y - 2 = 0$，
解得$y = 2$。
将$y = 2$代入$3y + 1.2 = x$，
得$x = 3× 2 + 1.2$，
解得$x = 7.2$。
答：这根绳子长$7.2$米，环绕大树1周需要$2$米绳子。
解析
【分析】
这是一道典型的盈亏类应用题，存在两个未知量：绳子的总长度和环绕大树1周所需的绳子长度。我们可以通过设两个未知数，根据题目给出的两种环绕情况提炼出等量关系，列二元一次方程组来求解。首先，环绕大树3周还多1.2米，意味着3倍的1周长度加上1.2米等于绳子总长；环绕大树4周则少0.8米，意味着4倍的1周长度减去0.8米等于绳子总长。之后利用消元法解方程组，先求出环绕1周的绳子长度，再代入方程求出绳子的总长度。
【解析】
设这根绳子长$x$米，环绕大树1周需要$y$米绳子。
根据题意，得$\begin{cases}3y + 1.2 = x\\4y - 0.8 = x\end{cases}$
将两个方程相减消去$x$：
$4y - 0.8 - (3y + 1.2) = 0$
化简得：$y - 2 = 0$
解得$y = 2$
把$y = 2$代入$3y + 1.2 = x$，得：
$x = 3×2 + 1.2 = 7.2$
答：这根绳子长7.2米，环绕大树1周需要2米绳子。
【答案】
这根绳子长7.2米，环绕大树1周需要2米绳子。
【知识点】
二元一次方程组的应用、消元法解二元一次方程组
【点评】
本题属于盈亏问题，核心是准确找出题目中的两个等量关系，通过设未知数列二元一次方程组的方式能清晰梳理数量关系，有效解决问题，考查了对二元一次方程组的理解与实际应用能力。
【难度系数】
0.7
这是一道典型的盈亏类应用题，存在两个未知量：绳子的总长度和环绕大树1周所需的绳子长度。我们可以通过设两个未知数，根据题目给出的两种环绕情况提炼出等量关系，列二元一次方程组来求解。首先，环绕大树3周还多1.2米，意味着3倍的1周长度加上1.2米等于绳子总长；环绕大树4周则少0.8米，意味着4倍的1周长度减去0.8米等于绳子总长。之后利用消元法解方程组，先求出环绕1周的绳子长度，再代入方程求出绳子的总长度。
【解析】
设这根绳子长$x$米，环绕大树1周需要$y$米绳子。
根据题意，得$\begin{cases}3y + 1.2 = x\\4y - 0.8 = x\end{cases}$
将两个方程相减消去$x$：
$4y - 0.8 - (3y + 1.2) = 0$
化简得：$y - 2 = 0$
解得$y = 2$
把$y = 2$代入$3y + 1.2 = x$，得：
$x = 3×2 + 1.2 = 7.2$
答：这根绳子长7.2米，环绕大树1周需要2米绳子。
【答案】
这根绳子长7.2米，环绕大树1周需要2米绳子。
【知识点】
二元一次方程组的应用、消元法解二元一次方程组
【点评】
本题属于盈亏问题，核心是准确找出题目中的两个等量关系，通过设未知数列二元一次方程组的方式能清晰梳理数量关系，有效解决问题，考查了对二元一次方程组的理解与实际应用能力。
【难度系数】
0.7
6. 现有 1 角、5 角、1 元的硬币各 10 枚，从中取出 15 枚，共有 7 元。1 角、5 角、1 元的硬币各取了多少枚？
答案
1角5枚，5角7枚，1元3枚。
解析
设1角、5角、1元硬币分别取了$x$枚、$y$枚、$z$枚。
根据题意，得：
$\begin{cases}x + y + z = 15 \\0.1x + 0.5y + z = 7 \\0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 10, 0 ≤ z ≤ 10\end{cases}$
由第一个方程得$z = 15 - x - y$，代入第二个方程：
$0.1x + 0.5y + 15 - x - y = 7$
化简得：
$-0.9x - 0.5y = -8 \implies 9x + 5y = 80$
因为$x$、$y$为非负整数且$x ≤ 10$，$y ≤ 10$，$9x + 5y = 80$，$80 - 9x$需为5的倍数，$x$是5的倍数，可能取值$0$、$5$、$10$。
$x=0$时，$5y=80\implies y=16$（超10，舍去）；
$x=5$时，$5y=80 - 45=35\implies y=7$，则$z=15 - 5 - 7=3$（符合条件）；
$x=10$时，$5y=80 - 90=-10\implies y=-2$（舍去）。
综上，$x=5$，$y=7$，$z=3$。
根据题意，得：
$\begin{cases}x + y + z = 15 \\0.1x + 0.5y + z = 7 \\0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 10, 0 ≤ z ≤ 10\end{cases}$
由第一个方程得$z = 15 - x - y$，代入第二个方程：
$0.1x + 0.5y + 15 - x - y = 7$
化简得：
$-0.9x - 0.5y = -8 \implies 9x + 5y = 80$
因为$x$、$y$为非负整数且$x ≤ 10$，$y ≤ 10$，$9x + 5y = 80$，$80 - 9x$需为5的倍数，$x$是5的倍数，可能取值$0$、$5$、$10$。
$x=0$时，$5y=80\implies y=16$（超10，舍去）；
$x=5$时，$5y=80 - 45=35\implies y=7$，则$z=15 - 5 - 7=3$（符合条件）；
$x=10$时，$5y=80 - 90=-10\implies y=-2$（舍去）。
综上，$x=5$，$y=7$，$z=3$。
