11. 在直线 $ AB $ 上任取一点 $ O $，过点 $ O $ 作射线 $ OC $，$ OD $，使 $ OC ⊥ OD $. 当 $ ∠ AOC = 45° $ 时，$ ∠ BOD $ 的度数是.

11. $ 45° $ 或 $ 135° $

12. 如图，点 $ O $ 在直线 $ AB $ 上，$ OC ⊥ OD $ 于点 $ O $. 若 $ ∠ BOD = 3 ∠ BOC $，则 $ ∠ AOD $ 的度数为()

A.$ 112.5° $
B.$ 115° $
C.$ 117.5° $
D.$ 125° $

12. A

13. 新考向 跨学科 如图，这是光的反射示意图，$ CO $ 是入射光线，$ OD $ 是反射光线，$ OE $ 是法线，$ OE ⊥ AB $，$ ∠ EOD $ 是反射角，$ ∠ COE = ∠ EOD $. 若 $ ∠ AOC = 2 ∠ EOD $，则入射角 $ ∠ COE $ 的度数为()

A.$ 30° $
B.$ 40° $
C.$ 45° $
D.$ 60° $

13. A

14. 如图，在三角形 $ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90° $，$ AC = 3 $，$ BC = 4 $，$ AB = 5 $，$ P $ 为直线 $ AB $ 上一动点，连接 $ PC $，则线段 $ PC $ 的最小值是()

A.$ 3 $
B.$ 2.5 $
C.$ 2.4 $
D.$ 2 $

14. C

15. 如图，直线 $ AB $，$ CD $ 相交于点 $ O $，$ OE $ 平分 $ ∠ AOD $，$ OF ⊥ AB $.
(1) 若 $ ∠ COF = 50° $，求 $ ∠ COE $ 的度数.

(2) 若 $ ∠ BOD : ∠ EOD = 1 : 2 $，求 $ ∠ COF $ 的度数.

15. 解：(1) $ \because OF ⊥ AB $，$ \therefore ∠ AOF = 90° $。$ \because ∠ COF = 50° $，$ \therefore ∠ AOC = ∠ AOF - ∠ COF = 40° $。$ \therefore ∠ AOD = 180° - ∠ AOC = 140° $。$ \because OE $ 平分 $ ∠ AOD $，$ \therefore ∠ AOE = \frac{1}{2} ∠ AOD = 70° $。$ \therefore ∠ COE = ∠ AOE + ∠ AOC = 110° $。(2) $ \because OE $ 平分 $ ∠ AOD $，$ \therefore ∠ EOD = ∠ AOE $。$ \because ∠ BOD : ∠ EOD = 1 : 2 $，$ \therefore ∠ BOD : ∠ EOD : ∠ AOE = 1 : 2 : 2 $。$ \therefore ∠ BOD = 180° × \frac{1}{5} = 36° $。$ \because OF ⊥ AB $，$ \therefore ∠ BOF = 90° $。$ \therefore ∠ COF = 180° - 90° - 36° = 54° $。

16. 如图，$ O $ 为直线 $ AB $ 上一点，$ OC $ 为一射线，$ OE $ 平分 $ ∠ AOC $，$ OF $ 平分 $ ∠ BOC $.
(1) 若 $ ∠ BOC = 50° $，试探究 $ OE $ 与 $ OF $ 之间的位置关系.
(2) 若 $ ∠ BOC = ∠ α (0° ＜ ∠ α ＜ 180°) $，则 (1) 中 $ OE $，$ OF $ 的位置关系是否仍成立？请说明理由.

16. 解：(1) $ \because ∠ BOC = 50° $，$ \therefore ∠ AOC = 180° - 50° = 130° $。$ \because OE $ 平分 $ ∠ AOC $，$ OF $ 平分 $ ∠ BOC $，$ \therefore ∠ EOC = \frac{1}{2} ∠ AOC = 65° $，$ ∠ COF = \frac{1}{2} ∠ BOC = 25° $。$ \therefore ∠ EOF = ∠ EOC + ∠ COF = 65° + 25° = 90° $。$ \therefore OE ⊥ OF $。(2) 成立。理由：$ \because ∠ BOC = ∠ α $，$ \therefore ∠ AOC = 180° - ∠ α $。$ \because OE $ 平分 $ ∠ AOC $，$ OF $ 平分 $ ∠ BOC $，$ \therefore ∠ EOC = \frac{1}{2} ∠ AOC = 90° - \frac{1}{2} ∠ α $，$ ∠ COF = \frac{1}{2} ∠ BOC = \frac{1}{2} ∠ α $。$ \therefore ∠ EOF = ∠ EOC + ∠ COF = 90° - \frac{1}{2} ∠ α + \frac{1}{2} ∠ α = 90° $。$ \therefore OE ⊥ OF $。