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10. 若关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}mx + y = 2n + 13,\\x + ny = m - 10\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 3,\\y = 4,\end{cases}$则代数式$m + n$的值是 ______ 。
答案
10. -2
解析
【解析】
将$\begin{cases}x = 3,\\y = 4\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}mx + y = 2n + 13,\\x + ny = m - 10\end{cases}$，得：
$\begin{cases}3m + 4 = 2n + 13,\\3 + 4n = m - 10\end{cases}$
将两个方程左右两边分别相加：
$3m + 4 + 3 + 4n = 2n + 13 + m - 10$
整理得：$2m + 2n = -4$，
两边同时除以2，得$m + n = -2$。
【答案】
-2
【知识点】
1. 二元一次方程组的解的定义
2. 整体思想求值
【点评】
本题主要考查二元一次方程组的解的应用，通过代入已知解得到关于m、n的关系式，利用整体思想可快速求出m+n的值，简化了解题过程。
【难度系数】
0.8
将$\begin{cases}x = 3,\\y = 4\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}mx + y = 2n + 13,\\x + ny = m - 10\end{cases}$，得：
$\begin{cases}3m + 4 = 2n + 13,\\3 + 4n = m - 10\end{cases}$
将两个方程左右两边分别相加：
$3m + 4 + 3 + 4n = 2n + 13 + m - 10$
整理得：$2m + 2n = -4$，
两边同时除以2，得$m + n = -2$。
【答案】
-2
【知识点】
1. 二元一次方程组的解的定义
2. 整体思想求值
【点评】
本题主要考查二元一次方程组的解的应用，通过代入已知解得到关于m、n的关系式，利用整体思想可快速求出m+n的值，简化了解题过程。
【难度系数】
0.8
11. 对于任意有理数$a$，$b$，$c$，$d$，我们规定：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad - bc$。根据规定，若$x$，$y$同时满足$\begin{vmatrix}x&-y\\-6&5\end{vmatrix} = 13$，$\begin{vmatrix}3&4\\-y&x\end{vmatrix} = 4$，则$\begin{vmatrix}x&-y\\3&-2\end{vmatrix} =$ ______ 。
答案
11. $-\dfrac{11}{2}$
解析
【解析】
根据规定的行列式运算规则$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，将已知条件转化为二元一次方程组：
1. 由$\begin{vmatrix}x&-y\\-6&5\end{vmatrix}=13$，得$5x - (-y)×(-6)=13$，化简为$5x - 6y = 13$；
2. 由$\begin{vmatrix}3&4\\-y&x\end{vmatrix}=4$，得$3x - 4×(-y)=4$，化简为$3x + 4y = 4$；
联立方程组$\begin{cases}5x - 6y = 13\\3x + 4y = 4\end{cases}$，
将第一个方程两边乘2得：$10x - 12y = 26$，
第二个方程两边乘3得：$9x + 12y = 12$，
两式相加得：$19x = 38$，解得$x=2$，
将$x=2$代入$3x + 4y = 4$，得$6 + 4y = 4$，解得$y=-\frac{1}{2}$；
再计算$\begin{vmatrix}x&-y\\3&-2\end{vmatrix}$，根据规则得：
$x×(-2) - (-y)×3 = -2x + 3y$，
将$x=2$，$y=-\frac{1}{2}$代入得：$-2×2 + 3×(-\frac{1}{2}) = -4 - \frac{3}{2} = -\frac{11}{2}$。
【答案】
$-\dfrac{11}{2}$
【知识点】
新定义运算，二元一次方程组解法，代数式求值
【点评】
本题以新定义行列式运算为载体，考查二元一次方程组的求解及代数式求值，需准确理解新运算规则，熟练运用消元法解方程组，注意运算过程中的符号问题。
【难度系数】
0.5
根据规定的行列式运算规则$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，将已知条件转化为二元一次方程组：
1. 由$\begin{vmatrix}x&-y\\-6&5\end{vmatrix}=13$，得$5x - (-y)×(-6)=13$，化简为$5x - 6y = 13$；
2. 由$\begin{vmatrix}3&4\\-y&x\end{vmatrix}=4$，得$3x - 4×(-y)=4$，化简为$3x + 4y = 4$；
联立方程组$\begin{cases}5x - 6y = 13\\3x + 4y = 4\end{cases}$，
将第一个方程两边乘2得：$10x - 12y = 26$，
第二个方程两边乘3得：$9x + 12y = 12$，
两式相加得：$19x = 38$，解得$x=2$，
将$x=2$代入$3x + 4y = 4$，得$6 + 4y = 4$，解得$y=-\frac{1}{2}$；
再计算$\begin{vmatrix}x&-y\\3&-2\end{vmatrix}$，根据规则得：
$x×(-2) - (-y)×3 = -2x + 3y$，
将$x=2$，$y=-\frac{1}{2}$代入得：$-2×2 + 3×(-\frac{1}{2}) = -4 - \frac{3}{2} = -\frac{11}{2}$。
【答案】
$-\dfrac{11}{2}$
【知识点】
新定义运算，二元一次方程组解法，代数式求值
【点评】
本题以新定义行列式运算为载体，考查二元一次方程组的求解及代数式求值，需准确理解新运算规则，熟练运用消元法解方程组，注意运算过程中的符号问题。
【难度系数】
0.5
12. 解方程组：
(1) $\begin{cases}3(x - 1) = y + 5,\\5(y - 1) = 3(x + 5).\end{cases}$
(2) $\begin{cases}\dfrac{2u}{3} + \dfrac{3v}{4} = \dfrac{1}{2},\\\dfrac{4u}{5} + \dfrac{5v}{6} = \dfrac{7}{15}.\end{cases}$
(1) $\begin{cases}3(x - 1) = y + 5,\\5(y - 1) = 3(x + 5).\end{cases}$
(2) $\begin{cases}\dfrac{2u}{3} + \dfrac{3v}{4} = \dfrac{1}{2},\\\dfrac{4u}{5} + \dfrac{5v}{6} = \dfrac{7}{15}.\end{cases}$
答案
12. (1)$\begin{cases}x = 5,\\y = 7.\end{cases}$
(2)$\begin{cases}u = -\dfrac{3}{2},\\v = 2.\end{cases}$
(2)$\begin{cases}u = -\dfrac{3}{2},\\v = 2.\end{cases}$
解析
【解析】
(1) 先将原方程组整理为标准二元一次方程组形式：
$\begin{cases}3x - y = 8 & ①\\-3x + 5y = 20 & ②\end{cases}$
①+②得：$4y = 28$，解得$y = 7$。
将$y = 7$代入①得：$3x - 7 = 8$，解得$x = 5$。
因此方程组(1)的解为$\begin{cases}x = 5\\y = 7\end{cases}$。
(2) 先去分母将原方程组化为整数系数方程组：
给第一个方程两边同乘12，得$8u + 9v = 6$ ①；
给第二个方程两边同乘30，得$24u + 25v = 14$ ②。
①×3得：$24u + 27v = 18$ ③，
③-②得：$2v = 4$，解得$v = 2$。
将$v = 2$代入①得：$8u + 9×2 = 6$，解得$u = -\dfrac{3}{2}$。
因此方程组(2)的解为$\begin{cases}u = -\dfrac{3}{2}\\v = 2\end{cases}$。
【答案】
(1) $\begin{cases}x = 5\\y = 7\end{cases}$；(2) $\begin{cases}u = -\dfrac{3}{2}\\v = 2\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解法（加减消元法）、方程去分母变形
【点评】
本题考查二元一次方程组的求解，核心是先将方程组整理为标准形式，再通过加减消元法消元求解，去分母时需注意给每一项都乘最简公分母，避免漏乘常数项。
【难度系数】
0.6
(1) 先将原方程组整理为标准二元一次方程组形式：
$\begin{cases}3x - y = 8 & ①\\-3x + 5y = 20 & ②\end{cases}$
①+②得：$4y = 28$，解得$y = 7$。
将$y = 7$代入①得：$3x - 7 = 8$，解得$x = 5$。
因此方程组(1)的解为$\begin{cases}x = 5\\y = 7\end{cases}$。
(2) 先去分母将原方程组化为整数系数方程组：
给第一个方程两边同乘12，得$8u + 9v = 6$ ①；
给第二个方程两边同乘30，得$24u + 25v = 14$ ②。
①×3得：$24u + 27v = 18$ ③，
③-②得：$2v = 4$，解得$v = 2$。
将$v = 2$代入①得：$8u + 9×2 = 6$，解得$u = -\dfrac{3}{2}$。
因此方程组(2)的解为$\begin{cases}u = -\dfrac{3}{2}\\v = 2\end{cases}$。
【答案】
(1) $\begin{cases}x = 5\\y = 7\end{cases}$；(2) $\begin{cases}u = -\dfrac{3}{2}\\v = 2\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解法（加减消元法）、方程去分母变形
【点评】
本题考查二元一次方程组的求解，核心是先将方程组整理为标准形式，再通过加减消元法消元求解，去分母时需注意给每一项都乘最简公分母，避免漏乘常数项。
【难度系数】
0.6
13. 已知方程组$\begin{cases}4x - 3y = 19,\\ax - by = - 6\end{cases}$和$\begin{cases}bx - ay = - 6,\\5x + 3y = - 10\end{cases}$的解相同，求代数式$(4a - 3b)^{2021}$的值。
答案
13. -1
解析
【解析】
因为两个方程组的解相同，先联立求解不含$a$、$b$的方程组：
$\begin{cases}4x - 3y = 19 \\5x + 3y = -10\end{cases}$
①+②得：$9x = 9$，解得$x = 1$。
将$x = 1$代入①得：$4×1 - 3y = 19$，解得$y = -5$。
把$\begin{cases}x = 1 \\ y = -5\end{cases}$代入$\begin{cases}ax - by = -6 \\ bx - ay = -6\end{cases}$，得：
$\begin{cases}a + 5b = -6 \\5a + b = -6\end{cases}$
联立解得$a = -1$，$b = -1$。
则$4a - 3b = 4×(-1) - 3×(-1) = -1$，所以$(4a - 3b)^{2021}=(-1)^{2021}=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
同解方程组求解，代数式求值，幂的运算
【点评】
本题考查同解方程组的性质，核心是先求出公共解，再代入含参数的方程确定参数值，最后计算代数式，需注意负数奇次幂的符号规律。
【难度系数】
0.6
因为两个方程组的解相同，先联立求解不含$a$、$b$的方程组：
$\begin{cases}4x - 3y = 19 \\5x + 3y = -10\end{cases}$
①+②得：$9x = 9$，解得$x = 1$。
将$x = 1$代入①得：$4×1 - 3y = 19$，解得$y = -5$。
把$\begin{cases}x = 1 \\ y = -5\end{cases}$代入$\begin{cases}ax - by = -6 \\ bx - ay = -6\end{cases}$，得：
$\begin{cases}a + 5b = -6 \\5a + b = -6\end{cases}$
联立解得$a = -1$，$b = -1$。
则$4a - 3b = 4×(-1) - 3×(-1) = -1$，所以$(4a - 3b)^{2021}=(-1)^{2021}=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
同解方程组求解，代数式求值，幂的运算
【点评】
本题考查同解方程组的性质，核心是先求出公共解，再代入含参数的方程确定参数值，最后计算代数式，需注意负数奇次幂的符号规律。
【难度系数】
0.6
