15. 如图，$A(4,3)$是反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$在第一象限的图像上一点，连接$OA$，过点$A$作$AB// x$轴，截取$AB = OA$（点$B$在点$A$的右侧），连接$OB$，交反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$在第一象限的图像于点$P$，连接$AP$. 求：
（1）反比例函数的表达式；
（2）点$B$的坐标；
（3）$\triangle OAP$的面积.
（1）反比例函数的表达式；
（2）点$B$的坐标；
（3）$\triangle OAP$的面积.
答案
(1) 将$(4,3)$代入$y = \frac{k}{x}$，得$3 = \frac{k}{4}$，$\therefore k = 12$。$\therefore$反比例函数的表达式为$y = \frac{12}{x}$ (2) 如图，过点 A 作$AC \perp x$轴于点 C。$\because$点 A 的坐标为(4,3)，$\therefore OC = 4$，$AC = 3$。$\therefore OA = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。$\because AB // x$轴，且$AB = OA = 5$，$\therefore$点 B 的坐标为(9,3) (3) $\because$点 B 的坐标为(9,3)，$\therefore$易得直线 OB 对应的函数表达式为$y = \frac{1}{3}x$。联立$\begin{cases} y = \frac{1}{3}x \\ y = \frac{12}{x} \end{cases}$，解得$\begin{cases} x = 6 \\ y = 2 \end{cases}$或$\begin{cases} x = -6 \\ y = -2 \end{cases}$(不合题意，舍去)。$\therefore$点 P 的坐标为(6,2)。如图，过点 P 作$PD \perp x$轴于点 D，则$OD = 6$，$PD = 2$。$\therefore S_{\triangle OAP} = S_{\triangle OCA} + S_{梯形 ACDP} - S_{\triangle ODP} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 + \frac{1}{2} \times (2 + 3) \times (6 - 4) - \frac{1}{2} \times 6 \times 2 = 5$
16. （2024·德阳）如图，一次函数$y=-2x + 2$与函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图像交于点$A(-1,m)$.
（1）求$m$的值和函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的表达式；
（2）将直线$y=-2x + 2$向下平移$h(h＞0)$个单位长度后得到直线$y = ax + b$，若直线$y = ax + b$与函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图像的交点为$B(n,2)$，求$h$的值，并结合图像求当$x＜0$时，不等式$\frac{k}{x}＜ax + b$的解集.
（1）求$m$的值和函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的表达式；
（2）将直线$y=-2x + 2$向下平移$h(h＞0)$个单位长度后得到直线$y = ax + b$，若直线$y = ax + b$与函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图像的交点为$B(n,2)$，求$h$的值，并结合图像求当$x＜0$时，不等式$\frac{k}{x}＜ax + b$的解集.
答案
(1) $\because$点$A(-1,m)$在一次函数$y = -2x + 2$的图像上，$\therefore m = -2 \times (-1) + 2 = 4$。$\therefore A(-1,4)$。$\because$点 A 在函数$y = \frac{k}{x}(x ＜ 0)$的图像上，$\therefore k = -4$。$\therefore$函数$y = \frac{k}{x}(x ＜ 0)$的表达式为$y = -\frac{4}{x}(x ＜ 0)$ (2) $\because$点$B(n,2)$在函数$y = -\frac{4}{x}(x ＜ 0)$的图像上，$\therefore 2 = -\frac{4}{n}$，解得$n = -2$。$\therefore B(-2,2)$。将直线$y = -2x + 2$向下平移 h 个单位长度后所得直线对应的函数表达式为$y = -2x + 2 - h$。$\because$点$B(-2,2)$在直线$y = -2x + 2 - h$上，$\therefore 2 = -2 \times (-2) + 2 - h$，解得$h = 4$。根据函数图像及交点坐标可知，当$x ＜ 0$时，不等式$\frac{k}{x} ＜ ax + b$的解集为$x ＜ -2$
17. 阅读下面的材料：
已知函数$y = f(x)$，对于自变量$x$的取值范围内的任意$x_{1}$、$x_{2}$.
（1）若$x_{1}＜x_{2}$，都有$f(x_{1})＜f(x_{2})$，则称$f(x)$是增函数；
（2）若$x_{1}＜x_{2}$，都有$f(x_{1})＞f(x_{2})$，则称$f(x)$是减函数.
例题：证明函数$f(x)=\frac{6}{x}(x＞0)$是减函数.
证明：设$0＜x_{1}＜x_{2}$，则$f(x_{1})-f(x_{2})=\frac{6}{x_{1}}-\frac{6}{x_{2}}=\frac{6x_{2}-6x_{1}}{x_{1}x_{2}}=\frac{6(x_{2}-x_{1})}{x_{1}x_{2}}$.
$\because0＜x_{1}＜x_{2}$，$\therefore x_{2}-x_{1}＞0$，$x_{1}x_{2}＞0$. $\therefore\frac{6(x_{2}-x_{1})}{x_{1}x_{2}}＞0$，即$f(x_{1})-f(x_{2})＞0$.
$\therefore f(x_{1})＞f(x_{2})$. $\therefore$函数$f(x)=\frac{6}{x}(x＞0)$是减函数.
根据上述材料，解答下列问题：
（1）计算：$f(-3)=$_______，$f(-4)=$_______；
（2）猜想：函数$f(x)=\frac{1}{x^{2}}+x(x＜0)$是_______函数（填“增”或“减”）；
（3）请仿照例题，证明（2）中的猜想.
已知函数$y = f(x)$，对于自变量$x$的取值范围内的任意$x_{1}$、$x_{2}$.
（1）若$x_{1}＜x_{2}$，都有$f(x_{1})＜f(x_{2})$，则称$f(x)$是增函数；
（2）若$x_{1}＜x_{2}$，都有$f(x_{1})＞f(x_{2})$，则称$f(x)$是减函数.
例题：证明函数$f(x)=\frac{6}{x}(x＞0)$是减函数.
证明：设$0＜x_{1}＜x_{2}$，则$f(x_{1})-f(x_{2})=\frac{6}{x_{1}}-\frac{6}{x_{2}}=\frac{6x_{2}-6x_{1}}{x_{1}x_{2}}=\frac{6(x_{2}-x_{1})}{x_{1}x_{2}}$.
$\because0＜x_{1}＜x_{2}$，$\therefore x_{2}-x_{1}＞0$，$x_{1}x_{2}＞0$. $\therefore\frac{6(x_{2}-x_{1})}{x_{1}x_{2}}＞0$，即$f(x_{1})-f(x_{2})＞0$.
$\therefore f(x_{1})＞f(x_{2})$. $\therefore$函数$f(x)=\frac{6}{x}(x＞0)$是减函数.
根据上述材料，解答下列问题：
（1）计算：$f(-3)=$_______，$f(-4)=$_______；
（2）猜想：函数$f(x)=\frac{1}{x^{2}}+x(x＜0)$是_______函数（填“增”或“减”）；
（3）请仿照例题，证明（2）中的猜想.
答案
(1) $-\frac{26}{9}$ $-\frac{63}{16}$ (2) 增 (3) 设$x_1 ＜ x_2 ＜ 0$，则$f(x_1) - f(x_2) = \frac{1}{x_1^2} + x_1 - \frac{1}{x_2^2} - x_2 = (x_1 - x_2)(1 - \frac{x_1 + x_2}{x_1^2x_2^2})$。$\because x_1 ＜ x_2 ＜ 0$，$\therefore x_1 - x_2 ＜ 0$，$x_1 + x_2 ＜ 0$，$x_1^2x_2^2 ＞ 0$。$\therefore (x_1 - x_2) \cdot (1 - \frac{x_1 + x_2}{x_1^2x_2^2}) ＜ 0$，即$f(x_1) - f(x_2) ＜ 0$。$\therefore f(x_1) ＜ f(x_2)$。$\therefore$函数$f(x) = \frac{1}{x^2} + x(x ＜ 0)$是增函数
