11. （1）已知$2^a\times27^b\times37^c\times47^d = 1998$，其中$a$，$b$，$c$，$d$是自然数，求$(a - b - c + d)^{203}$的值；
（2）试确定$3^{101}\times7^{102}\times13^{103}$的个位数字.

(1) ∵ $2^{a}×27^{b}×37^{c}×47^{d}=2^{a}×3^{3b}×37^{c}×47^{d}$，1998 = $2×3^{3}×37$，∴ $2^{a}×3^{3b}×37^{c}×47^{d}=2×3^{3}×37$，∴ $a = 1$，$b = 1$，$c = 1$，$d = 0$，∴ $(a - b - c + d)^{203}=(1 - 1 - 1 + 0)^{203}=-1$
(2) $3^{101}×7^{102}×13^{103}=3^{100}×3×7^{102}×13^{102}×13=(3^{4})^{25}×3×(7×13)^{102}×13=81^{25}×91^{102}×39$. ∵ $81^{25}$，$91^{102}$ 的个位数字均为 1，∴ $81^{25}×91^{102}×39$ 的个位数字为 9，∴ $3^{101}×7^{102}×13^{103}$ 的个位数字为 9

12. 已知$P=\frac{77^7}{7^{77}}$，$Q=\frac{11^7}{7^{70}}$，求证：$P = Q$.

∵ $P=\frac{77^{7}}{7^{77}}=\frac{(7×11)^{7}}{7^{7 + 70}}=\frac{7^{7}×11^{7}}{7^{7}×7^{70}}=\frac{11^{7}}{7^{70}}$，$Q=\frac{11^{7}}{7^{70}}$，∴ $P = Q$

13. 已知$1^2 + 2^2 + 3^2+\cdots + n^2=\frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1)$，利用上述等式求$2^2 + 4^2 + 6^2+\cdots + 50^2$的值.

原式 = $(2×1)^{2}+(2×2)^{2}+(2×3)^{2}+\cdots+(2×25)^{2}=2^{2}×(1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+25^{2})$. ∵ $1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2}=\frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1)$，∴ 原式 = $2^{2}×\frac{1}{6}×25×(25 + 1)×(2×25 + 1)=22100$

14. 设$M_{(1)}=-2$，$M_{(2)}=(-2)\times(-2)$，$M_{(3)}=(-2)\times(-2)\times(-2)$，$\cdots$，$M_{(n)}=\underbrace{(-2)\times(-2)\times\cdots\times(-2)}_{n个(-2)}$.
（1）计算：$M_{(5)}+M_{(6)}$；
（2）求$2M_{(220)}+M_{(221)}$的值；
（3）求证：$2M_{(n)}$与$M_{(n + 1)}$互为相反数.

(1) $M_{(5)}+M_{(6)}=(-2)^{5}+(-2)^{6}=-32 + 64 = 32$
(2) $2M_{(220)}+M_{(221)}=2×(-2)^{220}+(-2)^{221}=2^{221}-2^{221}=0$
(3) ∵ $2M_{(n)}+M_{(n + 1)}=2×(-2)^{n}+(-2)^{n + 1}=2×(-2)^{n}+(-2)^{n}×(-2)=(-2)^{n}×[2 + (-2)]=0$，∴ $2M_{(n)}$ 与 $M_{(n + 1)}$ 互为相反数