8. (2023·海门月考)已知A(a,b)是一次函数y = -x + 4和反比例函数y = $\frac{1}{x}$的一个交点，则代数式$a^2 + b^2$的值为 （ ）
A. 8
B. 10
C. 12
D. 14

D

9. (2024·陕西)已知点A(-2,$y_1$)和点B(m,$y_2$)均在反比例函数y = -$\frac{5}{x}$的图像上。若0 ＜ m ＜ 1，则$y_1 + y_2$________0。(填“＞”“=”或“＜”)

＜

10. 已知点A(m,$y_1$)，B(m + 1,$y_2$)都在反比例函数y = $\frac{n^2 + 1}{x}$(n是常数)的图像上，且$y_1 ＜ y_2$，则m的取值范围是________。

-1＜m＜0

11. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，OC在y轴上，OA = a，OC = b(a≤b,a≠0)，将矩形ABCO绕点A顺时针旋转90°得到矩形ADEF，双曲线y = $\frac{k}{x}$(k≠0,x ＞ 0)经过点B，分别交DE，EF于P，Q两点。
(1)当a = 2，b = 4时，求点P，Q的坐标；
(2)当P是DE的中点时，求证：四边形ABCO是正方形。

(1) 解：∵ OA = 2，OC = 4，∴ B(2,4)。
∵ 双曲线 y=$\frac{k}{x}$ 经过点 B，
∴ k = 2×4 = 8，
∴ 反比例函数的表达式为 y=$\frac{8}{x}$。
∵ AF = OA = 2，
∴ 点 Q 的纵坐标为 2。
把 y = 2 代入 y=$\frac{8}{x}$，得 2=$\frac{8}{x}$，解得 x = 4，
∴ Q(4,2)。
∵ AD = OC = 4，
∴ OD = 2 + 4 = 6，
∴ 点 P 的横坐标为 6，
把 x = 6 代入 y=$\frac{8}{x}$，得 y=$\frac{4}{3}$，
∴ P(6,$\frac{4}{3}$)。
(2) 证明：由题意可知 B(a,b)，
∵ 双曲线 y=$\frac{k}{x}$ 经过点 B，
∴ k = ab。
∵ AD = OC = b，DE = OA = a，且 P 是 DE 的中点，
∴ P(a + b,$\frac{1}{2}$a)。
∵ 双曲线 y=$\frac{k}{x}$ 交 DE 于点 P，
∴ (a + b)×$\frac{1}{2}$a = ab，
整理，得 a = b，
∴ OA = OC。
∵ 四边形 ABCO 是矩形，
∴ 四边形 ABCO 是正方形。

12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y = $\frac{k}{x}$(x ＞ 0)的图像上，点D的坐标为(4,3)。设AB所在直线的函数表达式为y = ax + b(a≠0)，若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位长度。
(1)当菱形的顶点B落在反比例函数的图像上时，求m的值；
(2)在平移过程中，若反比例函数的图像与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围。

解：(1) ∵ 点 D 的坐标为 (4,3)，点 C 和原点 O 重合，
∴ CD=$\sqrt{(4 - 0)^{2}+(3 - 0)^{2}}$ = 5。
∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴ BC = AD = CD = 5，
∴ 点 A 的坐标为 (4,8)，点 B 的坐标为 (0,5)。
∵ 点 A 在反比例函数 y=$\frac{k}{x}$(x＞0) 的图像上，
∴ k = 4×8 = 32，
∴ 反比例函数的表达式为 y=$\frac{32}{x}$。
当 y = 5 时，$\frac{32}{x}$=5，解得 x=$\frac{32}{5}$，
∴ 当菱形的顶点 B 落在反比例函数的图像上时，m 的值为 $\frac{32}{5}$。
(2) 当 y = 3 时，$\frac{32}{x}$=3，解得 x=$\frac{32}{3}$，
∵ $\frac{32}{3}$-4=$\frac{20}{3}$，
∴ 当菱形的顶点 D 落在反比例函数的图像上时，m 的值为 $\frac{20}{3}$，
∴ 在平移过程中，若反比例函数的图像与菱形的边 AD 始终有交点，则 m 的取值范围为 0≤m≤$\frac{20}{3}$。