16. (★)如图,在$△ ABC$中,$∠ C=84°$,分
别以点$A$,$B$为圆心,以大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径
画弧,两弧分别交于点$M$,$N$,作直线$MN$交$AC$
于点$D$;以点$B$为圆心,适当长为半径画弧,分
别交$BA$,$BC$于点$E$,$F$,再分别以点$E$,$F$为圆
心,以大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径画弧,两弧交于
点$P$,作射线$BP$,此时射线$BP$恰好经过点$D$,
则$∠ A$的度数为。

16. 32°

17. (★★)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=$
$90°$,按以下步骤作图:①以点$B$为圆心,以任
意长为半径作弧,分别交$AB$,$BC$于点$M$,$N$;
②分别以$M$,$N$为圆心,以大于$\frac{1}{2}MN$的长为半
径作弧,两弧在$∠ ABC$内交于点$P$;③作射线
$BP$,交$AC$于点$D$。若$AB=5$,$BC=3$,$AC=4$,则
线段$AD$的长为。

17. $\frac{5}{2}$ 提示:如图,过D点作DE⊥AB于点
E,则DE=DC。
因为$S_{△ABD}+S_{△BCD}=S_{△ABC},$
所以$\frac{1}{2}· DE×5+\frac{1}{2}· CD×3=\frac{1}{2}×3×4,$
即5CD+3CD=12。
所以$CD=\frac{3}{2}$。
所以$AD=AC-CD=4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$。

18. (★★★)图①是一个平分角的仪器,其
中$OD=OE$,$FD=FE$。

(1)如图②,将仪器放置在$△ ABC$上,使
点$O$与顶点$A$重合,$D$,$E$分别在边$AB$,$AC$上,
沿$AF$画一条射线$AP$,交$BC$于点$P$。$AP$是
$∠ BAC$的平分线吗? 请判断并说明理由。
(2)如图③,在(1)的条件下,过点$P$作
$PQ⊥ AB$于点$Q$,试说明:$S_{△ ABP}:S_{△ ACP}=AB:AC$。
(3)在(2)的条件下,若$PQ=6$,$AC=9$,
$△ ABC$的面积是60,求$AB$的长。

18. (1)AP是∠BAC的平分线。理由如下:
在△ADF和△AEF中,
AD=AE,FD=FE,AF=AF,
所以△ADF≅△AEF(SSS)。
所以∠DAF=∠EAF。
所以AP平分∠BAC。
(2)如图,过点P作PG⊥AC于点G。
因为AP平分∠BAC,PQ⊥AB,
所以PG=PQ。
所以$S_{△ABP}:S_{△ACP}=(\frac{1}{2}· AB· PQ):$
$(\frac{1}{2}AC· PG)=AB:AC$。

(3)如图,过点P作PG⊥AC于点G。
因为AP平分∠BAC,PQ⊥AB,
所以PG=PQ=6。
因为$S_{△ABC}=S_{△ABP}+S_{△APC}=\frac{1}{2}AB· PQ+$
$\frac{1}{2}AC· PG,$
所以$\frac{1}{2}AB×6+\frac{1}{2}×9×6=60$。
所以AB=11。