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2. 如图，某人持竿进门，已知门高为2m.将竿横放则比门宽长1m，将竿斜放则刚好与门框对角线长度相等，则竿的长度为().
A.2.2m
B.1.9m
C.2.5m
D.2m
A.2.2m
B.1.9m
C.2.5m
D.2m
答案
C
解析
设竿的长度为$ x $m，则门宽为$ (x-1) $m。根据勾股定理列方程：$ 2^2 + (x-1)^2 = x^2 $，展开化简得$ 4 + x^2 - 2x + 1 = x^2 $，进一步计算得$ 5 - 2x = 0 $，解得$ x = 2.5 $。
3. 如图，甲货船以16n mile/h的速度从港口A出发向东北方向航行，乙货船以12n mile/h的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2h后两船之间的距离是().
A.40n mile/h
B.32n mile/h
C.24n mile/h
D.20n mile/h
A.40n mile/h
B.32n mile/h
C.24n mile/h
D.20n mile/h
答案
A
解析
1. 由题意得，东北方向与东南方向夹角为90°，即∠BAC=90°；
2. 计算两船2小时行驶的路程：甲船行驶路程为16×2=32(n mile)，乙船行驶路程为12×2=24(n mile)；
3. 根据勾股定理，两船之间的距离为$\sqrt{32^2+24^2}=\sqrt{1600}=40$(n mile)。
2. 计算两船2小时行驶的路程：甲船行驶路程为16×2=32(n mile)，乙船行驶路程为12×2=24(n mile)；
3. 根据勾股定理，两船之间的距离为$\sqrt{32^2+24^2}=\sqrt{1600}=40$(n mile)。
4. 有四个三角形，分别满足下列条件之一：①三边长为5，12，13；②三边长为3k，4k，5k(k为正整数)；③三边之比为1:1:$\sqrt{2}$；④三边长为1，$\sqrt{3}$，2.其中直角三角形的个数有().
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
D
解析
根据勾股定理的逆定理，逐一验证：
①∵5²+12²=25+144=169=13²，∴是直角三角形；
②∵(3k)²+(4k)²=9k²+16k²=25k²=(5k)²（k为正整数），∴是直角三角形；
③设三边为x，x，√2 x（x＞0），∵x²+x²=2x²=(√2 x)²，∴是直角三角形；
④∵1²+(√3)²=1+3=4=2²，∴是直角三角形。
综上，4个都是直角三角形。
①∵5²+12²=25+144=169=13²，∴是直角三角形；
②∵(3k)²+(4k)²=9k²+16k²=25k²=(5k)²（k为正整数），∴是直角三角形；
③设三边为x，x，√2 x（x＞0），∵x²+x²=2x²=(√2 x)²，∴是直角三角形；
④∵1²+(√3)²=1+3=4=2²，∴是直角三角形。
综上，4个都是直角三角形。
5. 一组关于勾股数的等式如下排列：$3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$，$5^{2} + 12^{2} = 13^{2}$，$7^{2} + 24^{2} = 25^{2}$，$9^{2} + 40^{2} = 41^{2}$.请你用观察得到的规律写出第五个等式.
答案
$11^{2} + 60^{2} = 61^{2}$
解析
观察等式中勾股数的规律：
1. 第一个数是连续奇数：3,5,7,9，第五个奇数为11；
2. 第二个数满足：第二个数=(第一个数²-1)/2，代入11得$(11²-1)/2=60$；
3. 第三个数比第二个数大1，即$60+1=61$；
因此第五个等式为$11^{2} + 60^{2} = 61^{2}$。
1. 第一个数是连续奇数：3,5,7,9，第五个奇数为11；
2. 第二个数满足：第二个数=(第一个数²-1)/2，代入11得$(11²-1)/2=60$；
3. 第三个数比第二个数大1，即$60+1=61$；
因此第五个等式为$11^{2} + 60^{2} = 61^{2}$。
6. 如图，将直角边长为3cm的等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB₁C₁，则△AC₁D的面积是cm².
答案
$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
解析
1. 等腰直角△ABC中，∠CAB=45°，AC=3cm；
2. 旋转后AC₁=AC=3cm，∠C₁AB₁=45°，∠AC₁D=90°，∠C₁AD=45°-15°=30°；
3. 在Rt△AC₁D中，由$\tan30°=\frac{C_1D}{AC_1}$，得$C_1D=3×\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$；
4. △AC₁D的面积$S=\frac{1}{2}×3×\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}^2$。
2. 旋转后AC₁=AC=3cm，∠C₁AB₁=45°，∠AC₁D=90°，∠C₁AD=45°-15°=30°；
3. 在Rt△AC₁D中，由$\tan30°=\frac{C_1D}{AC_1}$，得$C_1D=3×\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$；
4. △AC₁D的面积$S=\frac{1}{2}×3×\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}^2$。
7. 如图，在等腰三角形ABC中，AB = AC，底边BC = 20，D是AB上一点，且CD = 16，BD = 12，求△ABC的周长.
答案
解：
在△BCD中，BD=12，CD=16，BC=20，
∵12²+16²=144+256=400，20²=400，
∴BD²+CD²=BC²，
∴△BCD是直角三角形，∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°。
设AB=AC=x，则AD=x-12，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$(x-12)^2+16^2=x^2$，
展开得：$x^2-24x+144+256=x^2$，
化简得：$-24x+400=0$，
解得：$x=\frac{50}{3}$。
∴△ABC的周长为$AB+AC+BC=\frac{50}{3}+\frac{50}{3}+20=\frac{160}{3}$。
答：△ABC的周长为$\frac{160}{3}$。
在△BCD中，BD=12，CD=16，BC=20，
∵12²+16²=144+256=400，20²=400，
∴BD²+CD²=BC²，
∴△BCD是直角三角形，∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°。
设AB=AC=x，则AD=x-12，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$(x-12)^2+16^2=x^2$，
展开得：$x^2-24x+144+256=x^2$，
化简得：$-24x+400=0$，
解得：$x=\frac{50}{3}$。
∴△ABC的周长为$AB+AC+BC=\frac{50}{3}+\frac{50}{3}+20=\frac{160}{3}$。
答：△ABC的周长为$\frac{160}{3}$。
