例 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，P是三角形内一点.若PA = 3，PB = 1，PC = 2，求证∠BPC = 135°.
分析：本题已知条件PA，PB，PC较分散，要使PA，PB，PC相对集中，考虑到AC = BC，可以把△CAP旋转到△CBE的位置，从而运用勾股定理及其逆定理解决问题.
证明：如图，在△ABC外取一点E，使CE = CP，BE = AP，连接PE.

∵在△APC和△BEC中，CP = CE，AP = BE，AC = BC，
∴△APC≌△BEC(SSS).∴∠ACP = ∠BCE.
∵∠ACP + ∠PCB = ∠ACB = 90°，
∴∠BCE + ∠PCB = 90°，即∠PCE = 90°.
∴在△PCE中，PE = $\sqrt{PC^{2} + CE^{2}} = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{2}$.
∵在Rt△PCE中，CE = CP，∴∠CPE = ∠CEP = $\frac{1}{2}×90° = 45°$.
∵在△EPB中，EP² + BP² = $(2\sqrt{2})^{2} + 1^{2} = 9 = BE^{2}$，
∴△EPB为直角三角形，∠EPB = 90°.
∴∠BPC = ∠EPB + ∠CPE = 90° + 45° = 135°.

证明：
如图，在△ABC外取一点E，使CE = CP，BE = AP，连接PE.
∵在△APC和△BEC中，
$\{\begin{array}{l}CP = CE\\AP = BE\\AC = BC\end{array} $
∴△APC≌△BEC(SSS).
∴∠ACP = ∠BCE.
∵∠ACP + ∠PCB = ∠ACB = 90°，
∴∠BCE + ∠PCB = 90°，即∠PCE = 90°.
在Rt△PCE中，由勾股定理得：
$PE = \sqrt{PC^{2} + CE^{2}} = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{2}$.
∵CE = CP，∠PCE = 90°，
∴∠CPE = ∠CEP = $\frac{1}{2}×90° = 45°$.
在△EPB中，$EP^{2} + BP^{2} = (2\sqrt{2})^{2} + 1^{2} = 9$，$BE^{2} = PA^{2} = 3^{2} = 9$，
∴$EP^{2} + BP^{2} = BE^{2}$，
∴△EPB是直角三角形，且∠EPB = 90°.
∴∠BPC = ∠EPB + ∠CPE = 90° + 45° = 135°.

1. 满足$a^{2} + b^{2} = c^{2}$的一组正整数a，b，c是勾股数，下列各组数是勾股数的是().

A.1，3，4
B.4，5，6
C.1，2，5
D.9，40，41

D

根据勾股数的定义，逐一验证各选项：
A. $1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$，$4^2 = 16$，$10≠16$，不是勾股数；
B. $4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$，$6^2 = 36$，$41≠36$，不是勾股数；
C. $1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$，$5^2 = 25$，$5≠25$，不是勾股数；
D. $9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681$，$41^2 = 1681$，满足$a^2 + b^2 = c^2$且均为正整数，是勾股数。