10. 如图,线段$DE$与$AF$分别为$△ ABC$的中位线与中线,连接$DF,EF$.
(1)求证:$AF$与$DE$互相平分；
(2)当线段$AF$与$BC$满足怎样的数量关系时,四边形$ADFE$为矩形? 请说明理由.

10. (1)证明：$\because DE$是$△ ABC$的中位线，
$\therefore$点$D$是$AB$的中点，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AB$.
$\because EF$是$△ ABC$的中位线，
$\therefore EF// AB$，$EF=\frac{1}{2}AB$，
$\therefore EF=AD$，
$\therefore$四边形$ADFE$是平行四边形，
$\therefore AF$与$DE$互相平分.
(2)解：当$AF=\frac{1}{2}BC$时，四边形$ADFE$为矩形.
理由：$\because$线段$DE$为$△ ABC$的中位线，
$\therefore DE=\frac{1}{2}BC$.
$\because AF=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore AF=DE$.
由(1)得四边形$ADFE$是平行四边形，
$\therefore$四边形$ADFE$为矩形.

11. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°,AC=6,BC=8$,点$P$为斜边$AB$上一动点,过$P$作$PE⊥ AC$于点$E$,作$PF⊥ BC$于点$F$,连接$EF$,则$EF$的最小值为.

11. $\frac{24}{5}$

12. 如图,在$△ ABC$中,$O$是$AC$边上的一个动点,过$O$作直线$MN// BC$,$MN$交$∠ ACB$的平分线于点$E$,交$△ ABC$的外角$∠ ACD$的平分线于点$F$,连接$AE,AF$.
(1)求证:$OE=OF$；
(2)若$CE=12,CF=5$,求$OC$的长；
(3)当点$O$在$AC$边的什么位置时,四边形$AECF$是矩形? 请说明理由.

12. (1)证明：$\because CE$平分$∠ ACB$，$CF$平分$∠ ACD$，
$\therefore ∠ ACE=∠ BCE$，$∠ ACF=∠ DCF$.
$\because MN// BC$，
$\therefore ∠ FEC=∠ BCE$，$∠ EFC=∠ DCF$.
$\therefore ∠ FEC=∠ ACE$，$∠ EFC=∠ ACF$.
$\therefore OE=OC$，$OF=OC$.
$\therefore OE=OF$.
(2)解：$\because CE$平分$∠ ACB$，$CF$平分$∠ ACD$，
$\therefore ∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACB$，$∠ ACF=\frac{1}{2}∠ ACD$.
$\therefore ∠ ACE+∠ ACF=\frac{1}{2}∠ ACB+\frac{1}{2}∠ ACD=\frac{1}{2}(∠ ACB+∠ ACD)=\frac{1}{2}×180°=90°$，即$∠ ECF=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ ECF$中，$\because CE=12$，$CF=5$，
$\therefore EF=\sqrt{CE^{2}+CF^{2}}=13$.
由(1)，知$OE=OF=OC$，
$\therefore OC=\frac{1}{2}EF=6.5$.
(3)解：当$O$在$AC$边的中点处时，四边形$AECF$是矩形.理由如下：
当$O$为$AC$的中点时，$OA=OC$.
$\because OE=OF$，
$\therefore$四边形$AECF$是平行四边形.
又$\because ∠ ECF=90°$，
$\therefore$四边形$AECF$是矩形.