6. 如图,$△ ABC$是直角三角形,$BO$是斜边$AC$上的中线,延长$BO$至$D$,使$OD=OB$,连接$AD,DC$.求证:四边形$ABCD$是矩形.

6. 证明：$\because BO$为$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边的中线
$\therefore AO=CO=BO$.
$\because OD=OB$，
$\therefore AO=CO=BO=DO$，
$\therefore$四边形$ABCD$为平行四边形且$AC=DB$，
$\therefore$四边形$ABCD$为矩形.

7. 如图,已知$CE,CF$分别是$△ ABC$内角和外角的平分线,过点$A$作$CE,CF$的垂线,垂足分别为$E,F$.求证:四边形$AECF$是矩形.

7. 证明：$\because CE,CF$分别是$△ ABC$内角和外角的平分线，
$\therefore ∠ ACE+∠ ACF=\frac{1}{2}×180°=90°$.
$\because AE⊥ CE$，$AF⊥ CF$，
$\therefore ∠ AEC=∠ AFC=90°$，
$\therefore$四边形$AECF$是矩形.

8. 如图,在平行四边形$ABCD$中,对角线$AC,BD$相交于点$O$,在不添加任何辅助线的情况下,请你添加一个条件,使平行四边形$ABCD$是矩形,理由是.

8. $∠ ABC=90°$，有一个角是直角的平行四边形是矩形(答案不唯一)

9. 如图,在$△ ABC$中,$D$是$BC$边上一点,$E$是$AD$的中点,过点$A$作$BC$的平行线交$CE$的延长线于点$F$,且$AF=BD$,连接$BF$.
(1)求证:$D$是$BC$的中点；
(2)若$AB=AC$,试判断四边形$AFBD$的形状,并证明你的结论.

9. (1)证明：$\because AF// BC$，
$\therefore ∠ AFE=∠ DCE$.
$\because$点$E$为$AD$的中点，
$\therefore AE=DE$.
在$△ AEF$和$△ DEC$中，
$\begin{cases} ∠ AFE=∠ DCE, \\ ∠ AEF=∠ DEC, \\ AE=DE, \end{cases}$
$\therefore △ AEF≌△ DEC$（AAS），
$\therefore AF=CD$.
$\because AF=BD$，
$\therefore CD=BD$，
$\therefore D$是$BC$的中点.
(2)若$AB=AC$，则四边形$AFBD$是矩形.理由如下：
$\because AF// BD$，$AF=BD$，
$\therefore$四边形$AFBD$是平行四边形，
$\because AB=AC$，$BD=CD$，
$\therefore ∠ ADB=90°$，
$\therefore$平行四边形$AFBD$是矩形.