3. 计算$\frac{1}{x + 1}+\frac{1}{1 - x}$的结果是()。

A.0
B.$\frac{2}{x^{2} - 1}$
C.$\frac{2x}{1 - x^{2}}$
D.$\frac{2}{1 - x^{2}}$

D

原式=$\frac{1}{x + 1}+\frac{1}{1 - x}$
=$\frac{1}{x + 1}-\frac{1}{x - 1}$
=$\frac{(x - 1) - (x + 1)}{(x + 1)(x - 1)}$
=$\frac{x - 1 - x - 1}{x^{2} - 1}$
=$\frac{-2}{x^{2} - 1}$
=$\frac{2}{1 - x^{2}}$

4. 计算$\frac{2x}{x^{2} - 9}+\frac{1}{3 - x}$的结果是()。

A.$\frac{1}{x - 3}$
B.$\frac{1}{x + 3}$
C.$\frac{1}{3 - x}$
D.$\frac{3x + 3}{x^{2} - 9}$

B

首先，将各分式化为同分母的形式。
已知表达式：$\frac{2x}{x^{2} - 9} + \frac{1}{3 - x}$，
因为$x^{2} - 9 = (x + 3)(x - 3)$，
所以可将第二个分式$\frac{1}{3 - x}$的分母化为$x^{2} - 9$的形式，
即$\frac{1}{3 - x} = -\frac{1}{x - 3} = -\frac{x + 3}{(x - 3)(x + 3)} = -\frac{x + 3}{x^{2} - 9}$，
则原式可化为：
$\frac{2x}{x^{2} - 9} - \frac{x + 3}{x^{2} - 9} = \frac{2x - (x + 3)}{x^{2} - 9} = \frac{2x - x - 3}{x^{2} - 9} = \frac{x - 3}{x^{2} - 9}$，
因为$x^{2} - 9 = (x + 3)(x - 3)$，
所以$\frac{x - 3}{x^{2} - 9} = \frac{x - 3}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{1}{x + 3}$。

5. 已知$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{2}$，则$\frac{ab}{a - b}$的值是()。

A.$\frac{1}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.2
D.-2

D

已知$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{2}$，通分可得$\frac{b - a}{ab}=\frac{1}{2}$，即$\frac{a - b}{ab}=-\frac{1}{2}$。
那么$\frac{ab}{a - b}=-2$。

6. 按照计划，大巴车将会在行驶$t\ \mathrm{h}$后到达距离为$s\ \mathrm{km}$的研学基地。因路上车流量大，出现拥堵，大巴车比原计划晚到了$a\ \mathrm{h}$，则大巴车实际的平均速度比原计划的平均速度慢$\mathrm{km/h}$。

原计划的平均速度为：$v_1 = \frac{s}{t} \ \mathrm{km/h}$。
因堵车，实际用时为：$t + a$，
实际的平均速度为：$v_2 = \frac{s}{t + a} \ \mathrm{km/h}$。
求两个速度的差值：
$\Delta v = v_1 - v_2$
$= \frac{s}{t} - \frac{s}{t + a}$
$= \frac{s(t + a) - st}{t(t + a)}$
$= \frac{sa}{t(t + a)} \ \mathrm{km/h}$
故答案为：$\frac{sa}{t(t + a)}$。

7. 计算：

(1)$\frac{1}{2x^{2}y}+\frac{1}{3xy^{2}}$；
(2)$\frac{1}{a - 3}+\frac{6}{9 - a^{2}}$。

(2) $\frac{1}{a - 3} + \frac{6}{9 - a^2}$
$=\frac{1}{a - 3} - \frac{6}{a^2 - 9}$
$=\frac{1}{a - 3} - \frac{6}{(a - 3)(a + 3)}$
$=\frac{a + 3}{(a - 3)(a + 3)} - \frac{6}{(a - 3)(a + 3)}$
$=\frac{a + 3 - 6}{(a - 3)(a + 3)}$
$=\frac{a - 3}{(a - 3)(a + 3)}$
$=\frac{1}{a + 3}$

8. 轮船由甲地到乙地顺流航行$40\ \mathrm{km}$，然后又原路返回甲地。已知水流的速度是$2\ \mathrm{km/h}$，设轮船在静水中的速度为$x\ \mathrm{km/h}$，则轮船往返一次共用的时间为()。

A.$\frac{80}{x}\ \mathrm{h}$
B.$\frac{80}{x^{2} - 4}\ \mathrm{h}$
C.$\frac{80}{x + 2}\ \mathrm{h}$
D.$\frac{80x}{x^{2} - 4}\ \mathrm{h}$

D

轮船顺流航行时，速度为静水速度加上水流速度，即$(x + 2)\ \mathrm{km/h}$，所以顺流航行$40\ \mathrm{km}$所用时间为$\frac{40}{x + 2}\ \mathrm{h}$。
轮船逆流航行时，速度为静水速度减去水流速度，即$(x - 2)\ \mathrm{km/h}$，所以逆流航行$40\ \mathrm{km}$所用时间为$\frac{40}{x - 2}\ \mathrm{h}$。
则轮船往返一次共用的时间为$\frac{40}{x + 2}+\frac{40}{x - 2}$，通分可得$\frac{40(x - 2)+40(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)}=\frac{40x-80 + 40x + 80}{x^{2}-4}=\frac{80x}{x^{2}-4}\ \mathrm{h}$。

9. 若$x = - 1$，$y = 2$，则$\frac{2x}{x^{2} - 64y^{2}}-\frac{1}{x - 8y}$的值等于()。

A.$-\frac{1}{17}$
B.$\frac{1}{17}$
C.$\frac{1}{16}$
D.$\frac{1}{15}$

D

原式$=\frac{2x}{(x+8y)(x-8y)}-\frac{x+8y}{(x+8y)(x-8y)}=\frac{2x-(x+8y)}{(x+8y)(x-8y)}=\frac{x-8y}{(x+8y)(x-8y)}=\frac{1}{x+8y}$。当$x=-1$，$y=2$时，原式$=\frac{1}{-1+8×2}=\frac{1}{15}$。