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10. 【跨学科】照相机成像的原理可以用公式$\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}$表示，其中$f$表示照相机镜头的焦距，$u$表示物体到镜头的距离，$v$表示胶片(像)到镜头的距离。已知$u$，$v$，则$f$的值为。
答案
由题目给出的公式$\frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v}$，
为了求解$f$，可以先将$\frac{1}{u} + \frac{1}{v}$进行通分，
$\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{v}{uv} + \frac{u}{uv} = \frac{u + v}{uv}$，
将上述结果代入原公式，得到：
$\frac{1}{f} = \frac{u + v}{uv}$，
对上述公式进行变形，解出$f$：
$f = \frac{uv}{u + v}$。
为了求解$f$，可以先将$\frac{1}{u} + \frac{1}{v}$进行通分，
$\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{v}{uv} + \frac{u}{uv} = \frac{u + v}{uv}$，
将上述结果代入原公式，得到：
$\frac{1}{f} = \frac{u + v}{uv}$，
对上述公式进行变形，解出$f$：
$f = \frac{uv}{u + v}$。
11. 已知代数式$\frac{1}{x - 1}+\frac{x^{2} - 3x}{x^{2} - 1}$，回答下列问题：
(1)化简这个代数式。
(2)“当$x = 1$时，该代数式的值为$0$”，这个说法正确吗？请说明理由。
(1)化简这个代数式。
(2)“当$x = 1$时，该代数式的值为$0$”，这个说法正确吗？请说明理由。
答案
(1)
首先，将两个分式化为同分母分式，$x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)$，原代数式$\frac{1}{x - 1}+\frac{x^{2}-3x}{x^{2}-1}=\frac{x + 1}{(x + 1)(x - 1)}+\frac{x^{2}-3x}{(x + 1)(x - 1)}$
根据同分母分式的加法法则：同分母的分式相加，分母不变，分子相加，可得：
$\frac{x + 1+x^{2}-3x}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{x^{2}-2x + 1}{(x + 1)(x - 1)}$
根据完全平方公式$a^2-2ab + b^2=(a - b)^2$，对分子进行变形可得$\frac{(x - 1)^{2}}{(x + 1)(x - 1)}$
因为$x≠1$（分式有意义时$x - 1≠0$），约去分子分母的公因式$x - 1$，得到$\frac{x - 1}{x + 1}$。
(2)
不正确。
理由：当$x = 1$时，原代数式中的$\frac{1}{x - 1}$和$\frac{x^{2}-3x}{x^{2}-1}$的分母$x - 1=0$，$x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)=0$，分式无意义，所以不能代入$x = 1$求值。
首先，将两个分式化为同分母分式，$x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)$，原代数式$\frac{1}{x - 1}+\frac{x^{2}-3x}{x^{2}-1}=\frac{x + 1}{(x + 1)(x - 1)}+\frac{x^{2}-3x}{(x + 1)(x - 1)}$
根据同分母分式的加法法则：同分母的分式相加，分母不变，分子相加，可得：
$\frac{x + 1+x^{2}-3x}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{x^{2}-2x + 1}{(x + 1)(x - 1)}$
根据完全平方公式$a^2-2ab + b^2=(a - b)^2$，对分子进行变形可得$\frac{(x - 1)^{2}}{(x + 1)(x - 1)}$
因为$x≠1$（分式有意义时$x - 1≠0$），约去分子分母的公因式$x - 1$，得到$\frac{x - 1}{x + 1}$。
(2)
不正确。
理由：当$x = 1$时，原代数式中的$\frac{1}{x - 1}$和$\frac{x^{2}-3x}{x^{2}-1}$的分母$x - 1=0$，$x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)=0$，分式无意义，所以不能代入$x = 1$求值。
12. 【数学应用】某校八年级学生开展长跑比赛。甲、乙两人同时从$A$地出发，沿同一条道路去$B$地，跑步途中都使用了两种不同的速度$v_{1}$与$v_{2}(0 ＜ v_{1} ＜ v_{2})$。甲前一半路程跑步的速度为$v_{1}$，后一半路程跑步的速度为$v_{2}$；乙前一半时间跑步的速度为$v_{1}$，后一半时间跑步的速度为$v_{2}$。
(1)设甲、乙两人从$A$地到达$B$地的平均速度分别为$v_{\mathrm{甲}}$，$v_{\mathrm{乙}}$，则$v_{\mathrm{甲}}=$，$v_{\mathrm{乙}}=$。
(2)请通过计算说明甲、乙两人谁先到达$B$地。
(1)设甲、乙两人从$A$地到达$B$地的平均速度分别为$v_{\mathrm{甲}}$，$v_{\mathrm{乙}}$，则$v_{\mathrm{甲}}=$，$v_{\mathrm{乙}}=$。
(2)请通过计算说明甲、乙两人谁先到达$B$地。
答案
(1)$v_{甲}=\frac{2v_{1}v_{2}}{v_{1} + v_{2}}$；$v_{乙}=\frac{v_{1} + v_{2}}{2}$。
(2)乙先到达$B$地。
(2)乙先到达$B$地。
解析
(1)
设$A$地到$B$地的路程为$2s$，甲前一半路程跑步的速度为$v_{1}$，后一半路程跑步的速度为$v_{2}$。
甲从$A$地到达$B$地所用时间$t_{甲}=\frac{s}{v_{1}}+\frac{s}{v_{2}}=\frac{s(v_{1} + v_{2})}{v_{1}v_{2}}$，则甲的平均速度$v_{甲}=\frac{2s}{t_{甲}}=\frac{2s}{\frac{s(v_{1} + v_{2})}{v_{1}v_{2}}}=\frac{2v_{1}v_{2}}{v_{1} + v_{2}}$。
设乙从$A$地到达$B$地总时间为$2t$，前一半时间跑步的速度为$v_{1}$，后一半时间跑步的速度为$v_{2}$。
则总路程为$2s = v_{1}t + v_{2}t=t(v_{1}+v_{2})$，乙的平均速度$v_{乙}=\frac{2s}{2t}=\frac{v_{1} + v_{2}}{2}$。
(2)
$v_{甲}-v_{乙}=\frac{2v_{1}v_{2}}{v_{1} + v_{2}}-\frac{v_{1} + v_{2}}{2}=\frac{4v_{1}v_{2}-(v_{1} + v_{2})^{2}}{2(v_{1} + v_{2})}=\frac{4v_{1}v_{2}-v_{1}^{2}-2v_{1}v_{2}-v_{2}^{2}}{2(v_{1} + v_{2})}=-\frac{(v_{1} - v_{2})^{2}}{2(v_{1} + v_{2})}$。
因为$0＜ v_{1}＜ v_{2}$，所以$(v_{1} - v_{2})^{2}＞0$，$v_{1}+v_{2}＞0$，则$-\frac{(v_{1} - v_{2})^{2}}{2(v_{1} + v_{2})}＜0$，即$v_{甲}＜ v_{乙}$。
因为路程相同，速度快的用时短，所以乙先到达$B$地。
设$A$地到$B$地的路程为$2s$，甲前一半路程跑步的速度为$v_{1}$，后一半路程跑步的速度为$v_{2}$。
甲从$A$地到达$B$地所用时间$t_{甲}=\frac{s}{v_{1}}+\frac{s}{v_{2}}=\frac{s(v_{1} + v_{2})}{v_{1}v_{2}}$，则甲的平均速度$v_{甲}=\frac{2s}{t_{甲}}=\frac{2s}{\frac{s(v_{1} + v_{2})}{v_{1}v_{2}}}=\frac{2v_{1}v_{2}}{v_{1} + v_{2}}$。
设乙从$A$地到达$B$地总时间为$2t$，前一半时间跑步的速度为$v_{1}$，后一半时间跑步的速度为$v_{2}$。
则总路程为$2s = v_{1}t + v_{2}t=t(v_{1}+v_{2})$，乙的平均速度$v_{乙}=\frac{2s}{2t}=\frac{v_{1} + v_{2}}{2}$。
(2)
$v_{甲}-v_{乙}=\frac{2v_{1}v_{2}}{v_{1} + v_{2}}-\frac{v_{1} + v_{2}}{2}=\frac{4v_{1}v_{2}-(v_{1} + v_{2})^{2}}{2(v_{1} + v_{2})}=\frac{4v_{1}v_{2}-v_{1}^{2}-2v_{1}v_{2}-v_{2}^{2}}{2(v_{1} + v_{2})}=-\frac{(v_{1} - v_{2})^{2}}{2(v_{1} + v_{2})}$。
因为$0＜ v_{1}＜ v_{2}$，所以$(v_{1} - v_{2})^{2}＞0$，$v_{1}+v_{2}＞0$，则$-\frac{(v_{1} - v_{2})^{2}}{2(v_{1} + v_{2})}＜0$，即$v_{甲}＜ v_{乙}$。
因为路程相同，速度快的用时短，所以乙先到达$B$地。
