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8. (★)(2024·上海改编)如果 $ x ＞ y $，那么下列结论正确的是【 】
A.$ x + 5 = y + 5 $
B.$ x - 5 ＜ y - 5 $
C.$ 5x ＞ 5y $
D.$ -5x ＞ -5y $
A.$ x + 5 = y + 5 $
B.$ x - 5 ＜ y - 5 $
C.$ 5x ＞ 5y $
D.$ -5x ＞ -5y $
答案
C
解析
A 选项：$x + 5$与$y + 5$是不等式两边同时加$5$，根据不等式性质，$x＞y$时，$x + 5＞y + 5$，不是$x + 5 = y + 5$，所以 A 错误。
B 选项：不等式两边同时减$5$，根据不等式性质，$x＞y$时，$x - 5＞y - 5$，不是$x - 5＜y - 5$，所以 B 错误。
C 选项：不等式两边同时乘$5$，因为$5＞0$，根据不等式性质，$x＞y$时，$5x＞5y$，所以 C 正确。
D 选项：不等式两边同时乘$-5$，因为$-5＜0$，根据不等式性质，$x＞y$时，$-5x＜ - 5y$，不是$-5x＞ - 5y$，所以 D 错误。
B 选项：不等式两边同时减$5$，根据不等式性质，$x＞y$时，$x - 5＞y - 5$，不是$x - 5＜y - 5$，所以 B 错误。
C 选项：不等式两边同时乘$5$，因为$5＞0$，根据不等式性质，$x＞y$时，$5x＞5y$，所以 C 正确。
D 选项：不等式两边同时乘$-5$，因为$-5＜0$，根据不等式性质，$x＞y$时，$-5x＜ - 5y$，不是$-5x＞ - 5y$，所以 D 错误。
9. (★★)已知 $ a ＞ b $，有下列结论：① $ a^2 ＞ ab $；② $ a^2 ＞ b^2 $；③若 $ b ＜ 0 $，则 $ a + b ＜ 2b $；④若 $ b ＞ 0 $，则 $ \frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b} $。其中正确的个数是【 】
A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $
A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $
答案
A
解析
已知 $a ＞ b$，逐一分析各结论：
① $a^2 ＞ ab$：
当 $a ＞ b$ 时，若 $a ＞ 0$，则 $a · a ＞ a · b$，即 $a^2 ＞ ab$；
但若 $a ≤ 0$（由于 $a ＞ b$，此时 $b ＜ 0$），如 $a = -1, b = -2$，则 $a^2 = 1, ab = 2$，此时 $a^2 ＜ ab$。
因此，① 不一定正确。
② $a^2 ＞ b^2$：
反例：$a = 1, b = -2$，此时 $a^2 = 1, b^2 = 4$，显然 $a^2 ＜ b^2$。
因此，② 不正确。
③ 若 $b ＜ 0$，则 $a + b ＜ 2b$：
由 $a ＞ b$ 和 $b ＜ 0$，不能直接推出 $a + b ＜ 2b$。
反例：$a = 1, b = -1$，此时 $a + b = 0, 2b = -2$，显然 $a + b ＞ 2b$。
因此，③ 不正确。
④ 若 $b ＞ 0$，则 $\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b}$：
由于 $a ＞ b ＞ 0$，根据正数的倒数性质，有 $\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b}$。
因此，④ 正确。
综上，只有 ④ 正确，正确的个数是 1。
① $a^2 ＞ ab$：
当 $a ＞ b$ 时，若 $a ＞ 0$，则 $a · a ＞ a · b$，即 $a^2 ＞ ab$；
但若 $a ≤ 0$（由于 $a ＞ b$，此时 $b ＜ 0$），如 $a = -1, b = -2$，则 $a^2 = 1, ab = 2$，此时 $a^2 ＜ ab$。
因此，① 不一定正确。
② $a^2 ＞ b^2$：
反例：$a = 1, b = -2$，此时 $a^2 = 1, b^2 = 4$，显然 $a^2 ＜ b^2$。
因此，② 不正确。
③ 若 $b ＜ 0$，则 $a + b ＜ 2b$：
由 $a ＞ b$ 和 $b ＜ 0$，不能直接推出 $a + b ＜ 2b$。
反例：$a = 1, b = -1$，此时 $a + b = 0, 2b = -2$，显然 $a + b ＞ 2b$。
因此，③ 不正确。
④ 若 $b ＞ 0$，则 $\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b}$：
由于 $a ＞ b ＞ 0$，根据正数的倒数性质，有 $\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b}$。
因此，④ 正确。
综上，只有 ④ 正确，正确的个数是 1。
10. (★)(1)若 $ -3a ＞ 1 $，两边都除以 $ -3 $，得【 】
A.$ a ＜ -\frac{1}{3} $
B.$ a ＞ -\frac{1}{3} $
C.$ a ＜ -3 $
D.$ a ＞ -3 $
A.$ a ＜ -\frac{1}{3} $
B.$ a ＞ -\frac{1}{3} $
C.$ a ＜ -3 $
D.$ a ＞ -3 $
答案
A
解析
根据不等式的基本性质，当两边同时除以一个负数时，不等号的方向要改变，所以将 $ -3a ＞ 1 $ 两边都除以 $ -3 $，得到 $ a ＜ -\frac{1}{3} $。
(2)由 $ x ＜ y $ 得到 $ ax ＞ ay $ 的条件是【 】
A.$ a $ 为非负数
B.$ a $ 为非正数
C.$ a ＞ 0 $
D.$ a ＜ 0 $
A.$ a $ 为非负数
B.$ a $ 为非正数
C.$ a ＞ 0 $
D.$ a ＜ 0 $
答案
D
解析
由题意知，当不等式两边同时乘以一个数时，不等号的方向发生改变，
根据不等式的性质，当$a＜0$时，乘以$a$会导致不等号方向改变，
即如果$x＜y$，且$a＜0$，则$ax＞ay$，
对于其他选项：
当$a$为非负数时，即$a ≥ 0$，若将$x＜y$两边同时乘以$a$，
若$a=0$，则得到$0=0$，
若$a＞0$，则得到$ax＜ay$，
这与题目要求的$ax＞ay$不符，
当$a$为非正数时，即$a ≤ 0$，这个范围包括了$a=0$和$a＜0$两种情况，
当$a=0$时，如上所述，得到的结果是等式，不是不等式，
当$a＞ 0$时，得到的结果与题目要求相反，
因此，这个选项也不符合题目要求，
对于$a＞0$，如上所述，它会导致不等号方向不变，即得到$ax＜ay$，与题目要求的$ax＞ay$不符，
综上所述，只有当$a＜0$时，才能由$x＜y$得到$ax＞ay$，
所以答案是D。
根据不等式的性质，当$a＜0$时，乘以$a$会导致不等号方向改变，
即如果$x＜y$，且$a＜0$，则$ax＞ay$，
对于其他选项：
当$a$为非负数时，即$a ≥ 0$，若将$x＜y$两边同时乘以$a$，
若$a=0$，则得到$0=0$，
若$a＞0$，则得到$ax＜ay$，
这与题目要求的$ax＞ay$不符，
当$a$为非正数时，即$a ≤ 0$，这个范围包括了$a=0$和$a＜0$两种情况，
当$a=0$时，如上所述，得到的结果是等式，不是不等式，
当$a＞ 0$时，得到的结果与题目要求相反，
因此，这个选项也不符合题目要求，
对于$a＞0$，如上所述，它会导致不等号方向不变，即得到$ax＜ay$，与题目要求的$ax＞ay$不符，
综上所述，只有当$a＜0$时，才能由$x＜y$得到$ax＞ay$，
所以答案是D。
(3)若 $ a ＞ b $，则下列不等式不一定成立的是【 】
A.$ a + m ＞ b + m $
B.$ a(m^2 + 1) ＞ b(m^2 + 1) $
C.$ -\frac{a}{2} ＜ -\frac{b}{2} $
D.$ a^2 ＞ b^2 $
A.$ a + m ＞ b + m $
B.$ a(m^2 + 1) ＞ b(m^2 + 1) $
C.$ -\frac{a}{2} ＜ -\frac{b}{2} $
D.$ a^2 ＞ b^2 $
答案
D
解析
对于选项A，根据不等式的基本性质1，当$a＞b$时，两边同时加$m$，得到$a + m＞b + m$，该不等式一定成立。
对于选项B，因为$m^{2}≥0$，所以$m^{2}+1＞0$，根据不等式的基本性质2，当$a ＞ b$时，两边同时乘$m^{2}+1$，不等号方向不变，即$a(m^{2}+1)＞b(m^{2}+1)$，该不等式一定成立。
对于选项C，根据不等式的基本性质3，当$a ＞ b$时，两边同时乘以$-\frac{1}{2}$，不等号方向改变，得到$-\frac{a}{2}＜-\frac{b}{2}$，该不等式一定成立。
对于选项D，当$a = 1$，$b = -2$时，$a＞b$，但是$a^{2}=1$，$b^{2}=4$，此时$a^{2}＜b^{2}$，所以该不等式不一定成立。
对于选项B，因为$m^{2}≥0$，所以$m^{2}+1＞0$，根据不等式的基本性质2，当$a ＞ b$时，两边同时乘$m^{2}+1$，不等号方向不变，即$a(m^{2}+1)＞b(m^{2}+1)$，该不等式一定成立。
对于选项C，根据不等式的基本性质3，当$a ＞ b$时，两边同时乘以$-\frac{1}{2}$，不等号方向改变，得到$-\frac{a}{2}＜-\frac{b}{2}$，该不等式一定成立。
对于选项D，当$a = 1$，$b = -2$时，$a＞b$，但是$a^{2}=1$，$b^{2}=4$，此时$a^{2}＜b^{2}$，所以该不等式不一定成立。
(4)如果 $ a ＜ b $，$ c ＜ 0 $，那么下列不等式不成立的是【 】
A.$ a + c ＜ b + c $
B.$ ac ＞ bc $
C.$ ac + 1 ＞ bc + 1 $
D.$ ac^2 ＞ bc^2 $
A.$ a + c ＜ b + c $
B.$ ac ＞ bc $
C.$ ac + 1 ＞ bc + 1 $
D.$ ac^2 ＞ bc^2 $
答案
D
解析
根据不等式的基本性质：
A 选项：在不等式 $a ＜ b$ 的两边同时加上同一个数 $c$，不等号方向不变，即 $a + c ＜ b + c$ 成立。
B 选项：在不等式 $a ＜ b$ 的两边同时乘以同一个负数 $c$，不等号方向改变，即 $ac ＞ bc$ 成立。
C 选项：由 $ac ＞ bc$（B 选项已证），在两边同时加上 $1$，不等号方向不变，所以 $ac + 1 ＞ bc + 1$ 成立。
D 选项：因为 $c＜0$，所以 $c^2 ＞ 0$，在不等式 $a ＜ b$ 的两边同时乘以同一个正数 $c^2$，不等号方向不变，即 $ac^2 ＜ bc^2$，所以 $ac^2 ＞ bc^2$ 不成立。
A 选项：在不等式 $a ＜ b$ 的两边同时加上同一个数 $c$，不等号方向不变，即 $a + c ＜ b + c$ 成立。
B 选项：在不等式 $a ＜ b$ 的两边同时乘以同一个负数 $c$，不等号方向改变，即 $ac ＞ bc$ 成立。
C 选项：由 $ac ＞ bc$（B 选项已证），在两边同时加上 $1$，不等号方向不变，所以 $ac + 1 ＞ bc + 1$ 成立。
D 选项：因为 $c＜0$，所以 $c^2 ＞ 0$，在不等式 $a ＜ b$ 的两边同时乘以同一个正数 $c^2$，不等号方向不变，即 $ac^2 ＜ bc^2$，所以 $ac^2 ＞ bc^2$ 不成立。
(5)实数 $ a $，$ b $ 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是【 】
A.$ a - 5 ＞ b - 5 $
B.$ 6a ＞ 6b $
C.$ -a ＞ -b $
D.$ a - b ＞ 0 $
A.$ a - 5 ＞ b - 5 $
B.$ 6a ＞ 6b $
C.$ -a ＞ -b $
D.$ a - b ＞ 0 $
答案
B
11. (★)已知 $ a ＞ b ＞ 0 $，下列结论错误的是【 】
A.$ a + m ＞ b + m $
B.$ a^2 ＞ ab $
C.$ -2a ＞ -2b $
D.$ \frac{a}{2} ＞ \frac{b}{2} $
A.$ a + m ＞ b + m $
B.$ a^2 ＞ ab $
C.$ -2a ＞ -2b $
D.$ \frac{a}{2} ＞ \frac{b}{2} $
答案
C
解析
A 选项：根据不等式的基本性质 1，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，因为$a＞ b$，所以$a + m＞ b + m$，该选项正确。
B 选项：因为$a＞ b＞0$，不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，所以$a× a＞ a× b$，即$a^{2}＞ ab$，该选项正确。
C 选项：因为$a＞ b$，根据不等式的基本性质 3，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，所以$-2a＜ -2b$，该选项错误。
D 选项：根据不等式的基本性质 2，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，因为$a＞ b$，所以$\frac{a}{2}＞\frac{b}{2}$，该选项正确。
B 选项：因为$a＞ b＞0$，不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，所以$a× a＞ a× b$，即$a^{2}＞ ab$，该选项正确。
C 选项：因为$a＞ b$，根据不等式的基本性质 3，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，所以$-2a＜ -2b$，该选项错误。
D 选项：根据不等式的基本性质 2，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，因为$a＞ b$，所以$\frac{a}{2}＞\frac{b}{2}$，该选项正确。
12. (★)当 $ 0 ＜ x ＜ 1 $ 时，$ x^2 $，$ x $，$ \frac{1}{x} $ 的大小顺序是【 】
A.$ x^2 ＜ x ＜ \frac{1}{x} $
B.$ \frac{1}{x} ＜ x ＜ x^2 $
C.$ \frac{1}{x} ＜ x^2 ＜ x $
D.$ x ＜ x^2 ＜ \frac{1}{x} $
A.$ x^2 ＜ x ＜ \frac{1}{x} $
B.$ \frac{1}{x} ＜ x ＜ x^2 $
C.$ \frac{1}{x} ＜ x^2 ＜ x $
D.$ x ＜ x^2 ＜ \frac{1}{x} $
答案
A
解析
由题意知，当$ 0 ＜ x ＜ 1 $时：
取$x=\frac{1}{2}$（特殊值法），
则$x^2 =(\frac{1}{2} )^{2}=\frac{1}{4}$，$\frac{1}{x} =1÷ \frac{1}{2}=2$，
根据$0 ＜ x ＜ 1 $，可以得到：
$x^{2}-x=x(x-1)＜ 0$，
由于$x＞ 0$，则$x-1＜ 0$，
所以$x^{2} ＜ x$，
由于$x＞ 0$，则$\frac{1}{x} ＞ 1$，
所以$x ＜ \frac{1}{x} $不（或因为$\frac{1}{x} -x=\frac{1-x^{2} }{x} ＞ 0$，所以$\frac{1}{x} ＞ x$），
因此，$x^{2} ＜ x ＜ \frac{1}{x} $。
取$x=\frac{1}{2}$（特殊值法），
则$x^2 =(\frac{1}{2} )^{2}=\frac{1}{4}$，$\frac{1}{x} =1÷ \frac{1}{2}=2$，
根据$0 ＜ x ＜ 1 $，可以得到：
$x^{2}-x=x(x-1)＜ 0$，
由于$x＞ 0$，则$x-1＜ 0$，
所以$x^{2} ＜ x$，
由于$x＞ 0$，则$\frac{1}{x} ＞ 1$，
所以$x ＜ \frac{1}{x} $不（或因为$\frac{1}{x} -x=\frac{1-x^{2} }{x} ＞ 0$，所以$\frac{1}{x} ＞ x$），
因此，$x^{2} ＜ x ＜ \frac{1}{x} $。
13. (★)已知 $ a $，$ b $，$ c $，$ d $ 是实数，若 $ a ＞ b $，$ c = d $，则【 】
A.$ a + c ＞ b + d $
B.$ a + b ＞ c + d $
C.$ a + c ＞ b - d $
D.$ a + b ＞ c - d $
A.$ a + c ＞ b + d $
B.$ a + b ＞ c + d $
C.$ a + c ＞ b - d $
D.$ a + b ＞ c - d $
答案
A
解析
本题可根据不等式的基本性质来判断选项的正确性。
已知$a＞ b$，$c = d$。
对于选项A：因为$c = d$，根据不等式的基本性质1：不等式两边同时加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
在不等式$a＞ b$两边同时加上$c$，可得$a + c＞ b + c$，又因为$c = d$，所以$b + c = b + d$，那么$a + c＞ b + d$，该选项正确。
对于选项B：由$a＞ b$，$c = d$，只能得到$a + c＞ b + c$，无法得出$a + b＞ c + d$，该选项错误。
对于选项C：虽然$a＞ b$，$c = d$，但是不能得出$a + c＞ b - d$，该选项错误。
对于选项D：同样，仅根据已知条件不能得出$a + b＞ c - d$，该选项错误。
已知$a＞ b$，$c = d$。
对于选项A：因为$c = d$，根据不等式的基本性质1：不等式两边同时加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
在不等式$a＞ b$两边同时加上$c$，可得$a + c＞ b + c$，又因为$c = d$，所以$b + c = b + d$，那么$a + c＞ b + d$，该选项正确。
对于选项B：由$a＞ b$，$c = d$，只能得到$a + c＞ b + c$，无法得出$a + b＞ c + d$，该选项错误。
对于选项C：虽然$a＞ b$，$c = d$，但是不能得出$a + c＞ b - d$，该选项错误。
对于选项D：同样，仅根据已知条件不能得出$a + b＞ c - d$，该选项错误。
14. (★★)若 $ -4a + 2 ＜ -4b + 2 $，则 $ a $$ b $。(填“$ ＞ $”“$ = $”或“$ ＜ $”)
答案
由$-4a + 2 ＜ -4b + 2$，
两边同时减去$2$，得$-4a ＜ -4b$，
两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得$a ＞ b$。
故本题答案为$＞$。
两边同时减去$2$，得$-4a ＜ -4b$，
两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得$a ＞ b$。
故本题答案为$＞$。
15. (★★)$ a $，$ b $，$ c $ 在数轴上的对应点的位置如图所示，有下列式子：① $ b + c ＞ 0 $；② $ a + b ＞ a + c $；③ $ bc ＞ ac $；④ $ ab ＞ ac $。其中正确的有(填序号)。
答案
由数轴可知：$ -2＜c＜-1$，$ 0 ＜ b ＜ 1$，$ 2 ＜ a ＜ 3$。
① $ b + c$：
$b$ 是正数但小于 1，$ c $是负数且绝对值大于 1，因此 $ b + c ＜ 0$，①错误。
② $ a + b ＞ a + c$：
因为 $ b ＞ c$，所以 $ a + b ＞ a + c$，②正确。
③ $ bc ＞ ac$：
$ b $是正数，$ c $是负数，因此 $ bc $为负数，$ a $是正数，$ c $是负数，因此 $ ac $为负数，
因为$ b ＜ a$，所以$ bc ＞ ac$，③正确。
④ $ ab ＞ ac$：
$ a $是正数，$ b $和 $ c $分别是正数和负数，因此 $ ab $为正数，$ ac $为负数，
显然$ ab ＞ ac$，④正确。
正确的有②③④。
故答案为：②③④。
① $ b + c$：
$b$ 是正数但小于 1，$ c $是负数且绝对值大于 1，因此 $ b + c ＜ 0$，①错误。
② $ a + b ＞ a + c$：
因为 $ b ＞ c$，所以 $ a + b ＞ a + c$，②正确。
③ $ bc ＞ ac$：
$ b $是正数，$ c $是负数，因此 $ bc $为负数，$ a $是正数，$ c $是负数，因此 $ ac $为负数，
因为$ b ＜ a$，所以$ bc ＞ ac$，③正确。
④ $ ab ＞ ac$：
$ a $是正数，$ b $和 $ c $分别是正数和负数，因此 $ ab $为正数，$ ac $为负数，
显然$ ab ＞ ac$，④正确。
正确的有②③④。
故答案为：②③④。
