16. (★★)已知 $ x ＞ 6 $，利用不等式的性质写出下列各式的取值范围：
(1) $ x + 9 $；
(2) $ 6x $；
(3) $ \frac{1}{2}x + 3 $；
(4) $ -4x $。

(1)
根据不等式的基本性质1：不等式两边同时加上（或减去）同一个整式，不等号方向不变。
已知$x＞6$，在不等式两边同时加上9，可得$x + 9＞6 + 9$，即$x + 9＞15$。
(2)
根据不等式的基本性质2：不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变。
已知$x＞6$，在不等式两边同时乘以6，可得$6x＞6×6$，即$6x＞36$。
(3)
根据不等式的基本性质2：不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变。
已知$x＞6$，在不等式两边同时乘以$\frac{1}{2}$，可得$\frac{1}{2}x＞\frac{1}{2}×6$，即$\frac{1}{2}x＞3$。
再根据不等式的基本性质1：在不等式$\frac{1}{2}x＞3$两边同时加上3，可得$\frac{1}{2}x + 3＞3 + 3$，即$\frac{1}{2}x + 3＞6$。
(4)
根据不等式的基本性质3：不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变。
已知$x＞6$，在不等式两边同时乘以$- 4$，可得$-4x＜ - 4×6$，即$-4x＜ - 24$。
综上，答案依次为：(1)$x + 9＞15$；(2)$6x＞36$；(3)$\frac{1}{2}x + 3＞6$；(4)$-4x＜ - 24$。

17. (★★)用“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”填空：
(1)由 $ a ＜ b $，可得 $ 3a $$ 3b $；
(2)由 $ x ＞ y $，可得 $ -\frac{1}{2}x \_\_\_\_\_\_ -\frac{1}{2}y $；
(3)由 $ a ＞ b $，可得 $ -a + 7 $$ -b + 7 $；
(4)由 $ a + b ＞ 2b + 1 $，可得 $ a $$ b $；
(5)由 $ a ＜ 0 $，可得 $ 6 + a $$ 6 - a $。

(1) ＜
(2) ＜
(3) ＜
(4) ＞
(5) ＜

18. (★★)(1)已知 $ x ＞ y $，比较 $ -3x + 5 $ 与 $ -3y + 5 $ 的大小，并说明理由。
(2)已知 $ a ＞ b $，能得到 $ ac^2 ＞ bc^2 $ 吗？为什么？
(3)若 $ x ＜ y $，且 $ (a - 3)x ＞ (a - 3)y $，求 $ a $ 的取值范围。

(1)
$-3x + 5 ＜ -3y + 5$；
理由：
$\because x＞ y$，
根据不等式性质：不等式两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，
$\therefore -3x＜ -3y$，
根据不等式性质：不等式两边同时加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变，
$\therefore -3x + 5＜ -3y + 5$。
(2)
不一定能得到$ac^{2}＞ bc^{2}$；
理由：
当$c = 0$时，$ac^{2}=bc^{2}=0$；
只有当$c≠0$时，$c^{2}＞0$，根据不等式性质：不等式两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，由$a＞ b$能得到$ac^{2}＞ bc^{2}$。
(3)
$\because x＜ y$，且$(a - 3)x＞(a - 3)y$，
根据不等式性质：不等式两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，
$\therefore a - 3＜0$，
解得$a＜3$。

19. (★★★)下面是不等式拓展后的两个性质：
①不等式的两边都加(或减)同一个整式，不等号的方向不变；
②不等式的两边乘同一个数(或整式)，乘的数(或整式)为正时不等号的方向不变，乘的数(或整式)为负时不等号的方向改变。
请解决以下两个问题：
(1)利用性质①比较 $ 2a $ 与 $ a $ 的大小($ a ≠ 0 $)；
(2)利用性质②比较 $ 2a $ 与 $ a $ 的大小($ a ≠ 0 $)。
第 2 课时

(1)当$a ＞ 0$时，在不等式$a ＞ 0$两边同时加$a$，由性质①得$a + a ＞ 0 + a$，即$2a ＞ a$；当$a ＜ 0$时，在不等式$a ＜ 0$两边同时加$a$，由性质①得$a + a ＜ 0 + a$，即$2a ＜ a$。
(2)当$a ＞ 0$时，因为$2 ＞ 1$，两边乘$a$（正数），由性质②得$2a ＞ a$；当$a ＜ 0$时，因为$2 ＞ 1$，两边乘$a$（负数），由性质②得$2a ＜ a$。