3. 已知，如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB// CD$，$E$ 是 $BC$ 的中点，直线 $AE$ 交 $DC$ 的延长线于点 $F$. 试判断四边形 $ABFC$ 的形状，并证明你的结论.

3. 解:四边形 ABFC 是平行四边形
理由:
∵点 E 是 BC 的中点
∴BE = CE
∵AB // CD
∴∠EAB = ∠EFC
在△AEB 和△FEC 中 {∠EAB = ∠EFC, ∠AEB = ∠FEC, BE = CE}
∴△AEB ≌ △FEC
∴AB = CF
∵AB // CF
∴四边形 ABFC 是平行四边形.

4. 如图，点 $B$，$E$，$C$，$F$ 在一条直线上，$AB = DF$，$AC = DE$，$BE = FC$.
（1）求证：$△ ABC≌△ DFE$；
（2）连接 $AF$，$BD$，求证：四边形 $ABDF$ 是平行四边形.

4. (1) 证明:
∵BE = FC
∴BE + EC = FC + EC
∴BC = EF
在△ABC 和△DFE 中 {AB = DF, AC = DE, BC = EF}
∴△ABC ≌ △DFE
(2) 解:
∵△ABC ≌ △DFE

∴∠ABC = ∠DFE AB = DF
∵∠ABC = ∠DFE
∴AB // DF
∴四边形 ABDF 是平行四边形.

5. 已知 $AB// CD$，$BE⊥ AD$，垂足为点 $E$，$CF⊥ AD$，垂足为点 $F$，并且 $AE = DF$. 求证：四边形 $BECF$ 是平行四边形.

5. 证明:
∵BE ⊥ AD
CF ⊥ AD
∴BE // CF
∠AEB = ∠DFC = 90°
∵AB // CD
∴∠A = ∠D
在△AEB 和△DFC 中 {∠A = ∠D, AE = DF, ∠AEB = ∠DFC}
∴△AEB ≌ △DFC
∴BE = CF
又
∵BE // CF
∴四边形 BECF 是平行四边形.

将 $□ ABCD$ 沿过点 $A$ 的直线 $l$ 折叠，使点 $D$ 落到 $AB$ 边上的点 $D'$ 处，折痕 $l$ 交 $CD$ 边于点 $E$，连接 $BE$.
（1）求证：四边形 $BCED'$ 是平行四边形；
（2）若 $BE$ 平分 $∠ ABC$，求证：$AB^{2}=AE^{2}+BE^{2}$.

证明:(1)
∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴AB // CD
∠D = ∠ABC
即 BD' // EC
由折叠原理可得 ∠D = ∠AD'E
∴∠ABC = ∠AD'E
∴D'E // BC
∵BD' // EC
∴四边形 BCED' 是平行四边形
(2)
∵AD // BC
∴∠DAB + ∠ABC = 180°
由折叠原理可得 2∠BAE = ∠DAB
∵BE 平分 ∠ABC
∴∠ABC = 2∠ABE
∴2∠BAE + 2∠ABE = 180°
∴∠BAE + ∠ABE = 90°
∵∠BAE + ∠ABE + ∠AEB = 180°
∴∠AEB = 90°
∴AB² = AE² + BE²