登录
1. 三角形在正方形网格纸中的位置如图1所示,则$\sin α$的值是()
A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
答案
C
解析
设每个小正方形边长为1，由网格可得∠α所在直角三角形的对边长为3，邻边长为4。根据勾股定理，斜边长度为$\sqrt{3^2+4^2}=5$。根据锐角三角函数定义，$\sinα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{3}{5}$。
2. 在$\mathrm{Rt} △ ABC$中,$∠ C=90°$,已知$∠ A$和它的对边$a$,则下列关系式中正确的是()
A.$c=a · \sin A$
B.$c=\frac{a}{\sin A}$
C.$c=b · \sin A$
D.$c=\frac{b}{\sin A}$
A.$c=a · \sin A$
B.$c=\frac{a}{\sin A}$
C.$c=b · \sin A$
D.$c=\frac{b}{\sin A}$
答案
B
解析
在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角三角函数的定义，$\sin A=\frac{a}{c}$，变形得$c=\frac{a}{\sin A}$，故选项B正确。
3. 在$\mathrm{Rt} △ ABC$中,锐角$A$的对边和斜边都同时扩大100倍,则$\sin A$的值()
A.扩大100倍
B.缩小至$\frac{1}{100}$
C.不变
D.不能确定
A.扩大100倍
B.缩小至$\frac{1}{100}$
C.不变
D.不能确定
答案
C
解析
在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，根据锐角三角函数的定义，$\sin A = \frac{∠ A的对边}{斜边}$。当$∠ A$的对边和斜边同时扩大100倍时，新的比值为$\frac{100×∠ A的对边}{100×斜边} = \frac{∠ A的对边}{斜边}$，与原$\sin A$的值相等，因此$\sin A$的值不变。
4. 在$\mathrm{Rt} △ ABC$中,$∠ C=90°, ∠ A=∠ B$,则$\sin A$的值是()
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.1
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.1
答案
B
解析
在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=∠ B$，由三角形内角和为$180°$，得$∠ A=(180°-90°)÷2=45°$。根据锐角三角函数的定义，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\sin A=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
5. 如图2,已知在平面直角坐标系$x O y$内有一点$A(2,3)$,那么$O A$与$x$轴正半轴的夹角$α$的正弦值是()
A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{3 \sqrt{13}}{13}$
D.$\frac{2 \sqrt{13}}{13}$
A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{3 \sqrt{13}}{13}$
D.$\frac{2 \sqrt{13}}{13}$
答案
C
解析
1. 过点A作x轴的垂线，垂足为B，可得AB=3，OB=2；
2. 由勾股定理计算OA的长度：$OA=\sqrt{OB^2+AB^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$；
3. 根据正弦函数定义，$\sinα=\frac{AB}{OA}=\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$。
2. 由勾股定理计算OA的长度：$OA=\sqrt{OB^2+AB^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$；
3. 根据正弦函数定义，$\sinα=\frac{AB}{OA}=\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$。
二、填空题
1. 在$\mathrm{Rt} △ ABC$中,$∠ C=90°$,若$A B=5, A C=4$,则$\sin B=$.
1. 在$\mathrm{Rt} △ ABC$中,$∠ C=90°$,若$A B=5, A C=4$,则$\sin B=$.
答案
解：
在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because AB=5$，$AC=4$，
$\therefore \sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}$。
在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because AB=5$，$AC=4$，
$\therefore \sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}$。
2. 在$△ A B C$中,若$B C=5, A B=13, A C=12$,则$\sin A=$.
答案
$\frac{5}{13}$
解析
先计算三边平方：$BC^2=5^2=25$，$AC^2=12^2=144$，$AB^2=13^2=169$。因为$25+144=169$，即$BC^2+AC^2=AB^2$，所以$△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$。根据锐角三角函数定义，$\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{13}$。
3. 在$\mathrm{Rt} △ A B C$中,$∠ C=90°, \sin A=\frac{4}{5}, A B=10$,则$B C=$.
答案
8
解析
在$\mathrm{Rt} △ A B C$中，$∠ C=90°$，根据锐角三角函数的定义，$\sin A=\frac{BC}{AB}$。已知$\sin A=\frac{4}{5}$，$AB=10$，则$BC=AB×\sin A=10×\frac{4}{5}=8$。
4. 已知直角三角形的两直角边的比为$1: 7$,则最小角的正弦值为.
答案
$\frac{\sqrt{2}}{10}$
解析
设直角三角形的两直角边分别为$ x $和$ 7x $（$ x＞0 $），由勾股定理得斜边为$\sqrt{x^2+(7x)^2}=5\sqrt{2}x$。直角三角形中最短直角边对应最小角，该角的对边为$ x $，根据正弦定义，其正弦值为$\frac{x}{5\sqrt{2}x}=\frac{\sqrt{2}}{10}$。
5. 如图3,在$\mathrm{Rt} △ A B C$中,$∠ A C B=90°, C D ⊥ A B$于$D, A B=6, A D=2$,则$\sin A=$.
答案
$\frac{\sqrt{6}}{3}$
解析
在$\mathrm{Rt} △ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，由射影定理得$BC^2=BD· AB$。
已知$AB=6$，$AD=2$，则$BD=AB-AD=6-2=4$，代入得$BC^2=4×6=24$，解得$BC=2\sqrt{6}$。
在$\mathrm{Rt} △ABC$中，$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{2\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。
已知$AB=6$，$AD=2$，则$BD=AB-AD=6-2=4$，代入得$BC^2=4×6=24$，解得$BC=2\sqrt{6}$。
在$\mathrm{Rt} △ABC$中，$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{2\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。
