例 1 计算：
(1) $ 4x(2x^{2}+3x - 1) $；
(2) $ (\frac{2}{3}ab^{2}-2ab)·(-\frac{1}{2}ab) $。

(1)
根据单项式乘多项式的运算法则，用单项式 $4x$ 去乘多项式 $2x^{2}+3x - 1$ 的每一项，再把所得的积相加：
$4x(2x^{2}+3x - 1)=4x×2x^{2}+4x×3x - 4x×1 = 8x^{3}+12x^{2}-4x$。
(2)
同样根据单项式乘多项式的运算法则，用单项式 $-\frac{1}{2}ab$ 去乘多项式 $\frac{2}{3}ab^{2}-2ab$ 的每一项，再把所得的积相加：
$(\frac{2}{3}ab^{2}-2ab)·(-\frac{1}{2}ab)=\frac{2}{3}ab^{2}·(-\frac{1}{2}ab)-2ab·(-\frac{1}{2}ab)=-\frac{1}{3}a^{2}b^{3}+a^{2}b^{2}$。

例 2 先化简，再求值：
(1) $ x^{2}(x^{2}-x + 1)-x(x^{3}-x^{2}+x - 1) $，其中 $ x=\frac{1}{2} $；
(2) $ -xy(x^{2}y^{5}-xy^{3}-y) $，其中 $ xy^{2}=-2 $。

(1)
首先，利用单项式乘多项式法则展开式子：
$x^{2}(x^{2}-x + 1)=x^{2}× x^{2}-x^{2}× x+x^{2}×1=x^{4}-x^{3}+x^{2}$
$x(x^{3}-x^{2}+x - 1)=x× x^{3}-x× x^{2}+x× x - x=x^{4}-x^{3}+x^{2}-x$
则原式$x^{2}(x^{2}-x + 1)-x(x^{3}-x^{2}+x - 1)$为：
$x^{4}-x^{3}+x^{2}-(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x)$
$=x^{4}-x^{3}+x^{2}-x^{4}+x^{3}-x^{2}+x$
$=x$
当$x = \frac{1}{2}$时，原式$=\frac{1}{2}$。
(2)
利用单项式乘多项式法则展开式子：
$-xy(x^{2}y^{5}-xy^{3}-y)=-xy× x^{2}y^{5}+xy× xy^{3}+xy× y$
$=-x^{3}y^{6}+x^{2}y^{4}+xy^{2}$
根据$xy^{2}=-2$，则$(xy^{2})^{3}=(-2)^{3}=-8$，$(xy^{2})^{2}=(-2)^{2}=4$。
$-x^{3}y^{6}+x^{2}y^{4}+xy^{2}=-(xy^{2})^{3}+(xy^{2})^{2}+xy^{2}$
把$(xy^{2})^{3}=-8$，$(xy^{2})^{2}=4$，$xy^{2}=-2$代入上式得：
$-(-8)+4+(-2)$
$=8 + 4-2$
$=10$
综上，答案依次为：(1)化简结果为$x$，值为$\frac{1}{2}$；(2)化简后式子代入求值结果为$10$。

1. $ -x(x^{2}-y^{2}) $的运算结果是()

A.$ -x^{2}+xy^{2} $
B.$ -x^{3}+xy^{2} $
C.$ -x^{3}-xy^{2} $
D.以上都不正确

B

根据单项式乘多项式的运算法则，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，$-x(x^{2}-y^{2})=-x× x^{2}-x×(-y^{2})=-x^{3}+xy^{2}$。

2. $ mn(m^{2}-mn + 1) $等于()

A.$ m^{3}n + m^{2}n^{2}+1 $
B.$ m^{3}n - 2mn + 1 $
C.$ m^{3}n - m^{2}n^{2}+1 $
D.$ m^{3}n - m^{2}n^{2}+mn $

D

本题可根据单项式乘多项式的运算法则来计算$mn(m^{2}-mn + 1)$，再将结果与选项进行对比。
单项式乘多项式的运算法则为：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即$a(b+c+d)=ab+ac+ad$。
对于$mn(m^{2}-mn + 1)$，根据上述法则可得：
$mn× m^{2}-mn× mn + mn×1$
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m× a^n=a^{m+n}$，对上式进一步计算：
$mn× m^{2}=m^{1 + 2}n=m^{3}n$；
$mn× mn=m^{1 + 1}n^{1 + 1}=m^{2}n^{2}$；
$mn×1 = mn$。
所以$mn(m^{2}-mn + 1)=m^{3}n - m^{2}n^{2}+mn$。

3. (1) $ a(2b - 3c + 2d)= $；
(2) $ (-3x)(2x^{2}-x - 1)= $；
(3) $ (3x)^{2}(\frac{1}{3}x^{2}-\frac{1}{9}x - 2)= $；
(4) $ a(b + c - bc)-b(c + a - ac)+c(b - c)= $。

(1)
$a(2b - 3c + 2d)$
$=a×2b - a×3c + a×2d$
$=2ab - 3ac + 2ad$
(2)
$(-3x)(2x^{2}-x - 1)$
$=(-3x)×2x^{2}-(-3x)× x-(-3x)×1$
$=-6x^{3}+3x^{2}+3x$
(3)
因为$(3x)^{2}=9x^{2}$，则
$(3x)^{2}(\frac{1}{3}x^{2}-\frac{1}{9}x - 2)$
$=9x^{2}×\frac{1}{3}x^{2}-9x^{2}×\frac{1}{9}x - 9x^{2}×2$
$=3x^{4}-x^{3}-18x^{2}$
(4)
$a(b + c - bc)-b(c + a - ac)+c(b - c)$
$=ab + ac - abc - (bc + ab - abc)+bc - c^{2}$
$=ab + ac - abc - bc - ab + abc+bc - c^{2}$
$=ac - c^{2}$