7.（2024·海门区一模）某公司今年推出一款产品. 根据市场调研，发现如下信息.
信息1：每月的销售总量y(件)和销售单价x(元/件)存在函数关系，其图像由部分双曲线EF和线段FG组成.
信息2：该产品2月份的销售单价为66元/件，3月份的销售单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两月的销售利润相同.
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求该产品的生产成本；
(2)该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低40％，同时继续降低销售价格，使得4月份的销售利润不低于3月份. 求4月份该产品销售单价的范围.

解：(1)由图像得曲线$EF$的函数表达式为$y = \frac{450 \times 40}{x} = \frac{18000}{x}(0 ＜ x \leq 45)$。
当$x = 45$时，$y = \frac{18000}{45} = 400$，
即$3$月份销售量为$400$件。
设该产品的生产成本为$a$元/件，则$(66 - a) \times 100 = (45 - a) \times 400$，
解得$a = 38$。
答：该产品的生产成本为$38$元/件。
(2)$3$月份利润为$(45 - 38) \times 400 = 2800$(元)。
由题意得$4$月份成本为$(1 - 40\%) \times 38 = 22.8$(元/件)，
则$\frac{18000}{x}(x - 22.8) \geq 2800$，
解得$x \geq 27$，
答：$4$月份该产品销售单价的范围是$27 \leq x ＜ 45$。

8.（2023·苏州期中）心理学家研究发现，一般情况下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化. 开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x(分)的变化规律如图所示，其中AB，BC分别为线段，BC平行于x轴，CD为双曲线的一部分. 上课开始时，注意力指数为20，第10分钟时，注意力指数为40. 根据图像信息. 回答下列问题：
(1)中间一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态持续的时长为________分钟；
(2)若开始上课第x分钟学生的注意力指数和上课第40分钟时的注意力指数相等，求x的值；
(3)一道数学题，需要讲19分钟，为了讲解效果，要求学生的注意力指数至少为36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力指数达到所需要的状态下讲解完这道题？请说明理由.

(1)15
(2)解：设一次函数表达式为$y = kx + b(k \neq 0)$，把$(0,20)$，$(10,40)$代入，得
$\begin{cases}b = 20, \\ 10k + b = 40,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 2, \\ b = 20,\end{cases}$
∴一次函数表达式为$y = 2x + 20$。
设反比例函数表达式为$y = \frac{k'}{x}(k' \neq 0)$，把$(25,40)$代入，
得$40 = \frac{k'}{25}$，
解得$k' = 1000$，
∴反比例函数表达式为$y = \frac{1000}{x}$。
把$x = 40$代入$y = \frac{1000}{x}$，得$y = \frac{1000}{40} = 25$。
把$y = 25$代入$y = 2x + 20$，得$25 = 2x + 20$，解得$x = 2.5$。
(3)解：把$y = 36$代入$y = 2x + 20$，得$36 = 2x + 20$，解得$x = 8$，
把$y = 36$代入$y = \frac{1000}{x}$，得$36 = \frac{1000}{x}$，解得$x = \frac{250}{9}$，
∵$\frac{250}{9} - 8 = \frac{178}{9} = 19\frac{7}{9} ＞ 19$，
∴老师能在学生注意力指数达到所需要的状态下讲解完这道题。