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5. 解下列方程：
(1)$5m - 0.5m - 1.5m = -5 + 17$；
(2)$-\frac{9}{4}x - x + 4x = -3\frac{1}{3} + 2^{3} - \frac{4}{3}$.
(1)$5m - 0.5m - 1.5m = -5 + 17$；
(2)$-\frac{9}{4}x - x + 4x = -3\frac{1}{3} + 2^{3} - \frac{4}{3}$.
答案
解:
(1)合并同类项,得3m=12.
系数化为1,得m=4.
(2)合并同类项,得$\frac{3}{4}x=\frac{10}{3}$.
系数化为1,得x=$\frac{40}{9}$.
(1)合并同类项,得3m=12.
系数化为1,得m=4.
(2)合并同类项,得$\frac{3}{4}x=\frac{10}{3}$.
系数化为1,得x=$\frac{40}{9}$.
解析
【分析】
这两个方程都属于用合并同类项法求解的一元一次方程，解题思路分为两步：第一步分别合并方程左右两边的同类项，把方程化简为“ax=b（a≠0）”的标准形式；第二步将未知数的系数化为1，即可得到方程的解。计算时注意：含未知数的项合并时要准确计算系数的和差，常数项合并时要先算乘方、再统一形式后计算，避免运算失误。
【解析】
(1) 合并同类项：
左边含$m$的项合并得：$5m - 0.5m - 1.5m = (5 - 0.5 - 1.5)m = 3m$
右边常数项合并得：$-5 + 17 = 12$
即方程化简为：$3m=12$
系数化为1，两边同时除以3，得：$m=4$
(2) 先计算乘方$2^3=8$，再合并同类项：
左边含$x$的项合并得：$-\frac{9}{4}x - x + 4x = (-\frac{9}{4} - \frac{4}{4} + \frac{16}{4})x = \frac{3}{4}x$
右边常数项合并得：$-3\frac{1}{3} + 8 - \frac{4}{3} = (-\frac{10}{3} - \frac{4}{3}) + 8 = \frac{10}{3}$
即方程化简为：$\frac{3}{4}x=\frac{10}{3}$
系数化为1，两边同时乘$\frac{4}{3}$，得：$x=\frac{10}{3} × \frac{4}{3} = \frac{40}{9}$
【答案】
(1) $m=4$；(2) $x=\frac{40}{9}$
【知识点】
合并同类项；解一元一次方程；有理数混合运算
【点评】
本题是合并同类项解一元一次方程的常规基础题，重点考查合并同类项的运算能力，计算时要注意分数、带分数的换算以及符号处理，避免因粗心出现运算错误。
【难度系数】
0.8
这两个方程都属于用合并同类项法求解的一元一次方程，解题思路分为两步：第一步分别合并方程左右两边的同类项，把方程化简为“ax=b（a≠0）”的标准形式；第二步将未知数的系数化为1，即可得到方程的解。计算时注意：含未知数的项合并时要准确计算系数的和差，常数项合并时要先算乘方、再统一形式后计算，避免运算失误。
【解析】
(1) 合并同类项：
左边含$m$的项合并得：$5m - 0.5m - 1.5m = (5 - 0.5 - 1.5)m = 3m$
右边常数项合并得：$-5 + 17 = 12$
即方程化简为：$3m=12$
系数化为1，两边同时除以3，得：$m=4$
(2) 先计算乘方$2^3=8$，再合并同类项：
左边含$x$的项合并得：$-\frac{9}{4}x - x + 4x = (-\frac{9}{4} - \frac{4}{4} + \frac{16}{4})x = \frac{3}{4}x$
右边常数项合并得：$-3\frac{1}{3} + 8 - \frac{4}{3} = (-\frac{10}{3} - \frac{4}{3}) + 8 = \frac{10}{3}$
即方程化简为：$\frac{3}{4}x=\frac{10}{3}$
系数化为1，两边同时乘$\frac{4}{3}$，得：$x=\frac{10}{3} × \frac{4}{3} = \frac{40}{9}$
【答案】
(1) $m=4$；(2) $x=\frac{40}{9}$
【知识点】
合并同类项；解一元一次方程；有理数混合运算
【点评】
本题是合并同类项解一元一次方程的常规基础题，重点考查合并同类项的运算能力，计算时要注意分数、带分数的换算以及符号处理，避免因粗心出现运算错误。
【难度系数】
0.8
6. 一个箱子,如果装橙子可以装 18 个,如果装梨可以装 16 个.现共有橙子、梨 400 个,而且装梨的箱子数量是装橙子的箱子数量的 2 倍,请算一下,装橙子和装梨的箱子各有多少个？
答案
解:设装橙子的箱子有x个,则装梨的箱子有2x个.
依题意,有18x+16×2x=400,
解得x=8,则2x=16.
答:装橙子的箱子有8个,装梨的箱子有16个.
依题意,有18x+16×2x=400,
解得x=8,则2x=16.
答:装橙子的箱子有8个,装梨的箱子有16个.
解析
【分析】
这是一元一次方程的实际应用题，解题思路如下：首先梳理题目中的数量关系，已知装梨的箱子数量是装橙子箱子数量的2倍，我们可以设装橙子的箱子数为未知数x，那么装梨的箱子数就可以用2x表示；其次题目给出橙子和梨总共有400个，可得到等量关系：橙子的总个数+梨的总个数=400，其中橙子总个数=每箱装橙子的数量×装橙子的箱子数，梨的总个数=每箱装梨的数量×装梨的箱子数，代入等量关系列出方程后，用合并同类项的方法解方程即可得到结果。
【解析】
解：设装橙子的箱子有x个，则装梨的箱子有2x个。
依题意列方程：
$18x + 16×2x = 400$
计算乘法项得：$18x + 32x = 400$
合并同类项得：$50x = 400$
系数化为1得：$x = 8$
则装梨的箱子数为$2x = 2×8 = 16$
【答案】
装橙子的箱子有8个，装梨的箱子有16个。
【知识点】
一元一次方程的应用；合并同类项解一元一次方程
【点评】
本题是基础的方程应用题，解题核心是找准题目中的倍数关系设未知数，根据总数量的等量关系列方程，熟练掌握合并同类项解方程的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这是一元一次方程的实际应用题，解题思路如下：首先梳理题目中的数量关系，已知装梨的箱子数量是装橙子箱子数量的2倍，我们可以设装橙子的箱子数为未知数x，那么装梨的箱子数就可以用2x表示；其次题目给出橙子和梨总共有400个，可得到等量关系：橙子的总个数+梨的总个数=400，其中橙子总个数=每箱装橙子的数量×装橙子的箱子数，梨的总个数=每箱装梨的数量×装梨的箱子数，代入等量关系列出方程后，用合并同类项的方法解方程即可得到结果。
【解析】
解：设装橙子的箱子有x个，则装梨的箱子有2x个。
依题意列方程：
$18x + 16×2x = 400$
计算乘法项得：$18x + 32x = 400$
合并同类项得：$50x = 400$
系数化为1得：$x = 8$
则装梨的箱子数为$2x = 2×8 = 16$
【答案】
装橙子的箱子有8个，装梨的箱子有16个。
【知识点】
一元一次方程的应用；合并同类项解一元一次方程
【点评】
本题是基础的方程应用题，解题核心是找准题目中的倍数关系设未知数，根据总数量的等量关系列方程，熟练掌握合并同类项解方程的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7. 小华同学在解方程$5x - 1 = $( )$x + 3$时,把“( )”处的数字看成了它的相反数,解得$x = 2$,则该方程的正确解应为$x = $______.
答案
$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
这是典型的错解求解问题，解题核心是“错解满足对应的错误方程”。我们可以按以下思路思考：第一步，先设括号处的数字为a，小华把它看成了相反数，也就是-a，据此可以写出小华解的错误方程；第二步，已知x=2是错误方程的解，把x=2代入错误方程就能得到关于a的一元一次方程，求出a的值；第三步，把a代入原正确方程，解一元一次方程就能得到正确的解。
【解析】
设“( )”处的数字为$a$，则小华看成的数字为$-a$，小华解的错误方程为：
$5x - 1 = -ax + 3$
将$x=2$代入上述错误方程，得：
$5× 2 - 1 = -2a + 3$
计算得：$9 = -2a + 3$
移项得：$-2a = 9 - 3$
合并同类项得：$-2a = 6$
系数化为1得：$a = -3$
所以原正确方程为：
$5x - 1 = -3x + 3$
移项得：$5x + 3x = 3 + 1$
合并同类项得：$8x = 4$
系数化为1得：$x = \frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 相反数的定义
2. 一元一次方程的解
3. 解一元一次方程
【点评】
本题解题的关键是明确错解是错误方程的有效解，通过错解求出未知系数后再求解正确方程，主要考查对一元一次方程解的理解和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
这是典型的错解求解问题，解题核心是“错解满足对应的错误方程”。我们可以按以下思路思考：第一步，先设括号处的数字为a，小华把它看成了相反数，也就是-a，据此可以写出小华解的错误方程；第二步，已知x=2是错误方程的解，把x=2代入错误方程就能得到关于a的一元一次方程，求出a的值；第三步，把a代入原正确方程，解一元一次方程就能得到正确的解。
【解析】
设“( )”处的数字为$a$，则小华看成的数字为$-a$，小华解的错误方程为：
$5x - 1 = -ax + 3$
将$x=2$代入上述错误方程，得：
$5× 2 - 1 = -2a + 3$
计算得：$9 = -2a + 3$
移项得：$-2a = 9 - 3$
合并同类项得：$-2a = 6$
系数化为1得：$a = -3$
所以原正确方程为：
$5x - 1 = -3x + 3$
移项得：$5x + 3x = 3 + 1$
合并同类项得：$8x = 4$
系数化为1得：$x = \frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 相反数的定义
2. 一元一次方程的解
3. 解一元一次方程
【点评】
本题解题的关键是明确错解是错误方程的有效解，通过错解求出未知系数后再求解正确方程，主要考查对一元一次方程解的理解和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
8. 在等式$3×□ - 2×□ = 15$的两个方格内分别填入一个数,使这两个数互为相反数且等式成立,则第一个方格内的数是______.
答案
3
解析
【分析】
解题时首先抓住题目中“两个方格内的数互为相反数”这一核心条件，我们可以设第一个方格内的数为x，根据相反数的定义，第二个方格内的数就是-x，再将两个未知数代入原等式，就能得到关于x的一元一次方程，接下来按照合并同类项解一元一次方程的步骤求解即可得到答案。
【解析】
设第一个方格内的数为$ x $，因为两个方格内的数互为相反数，所以第二个方格内的数为$ -x $。
将两个数代入原等式可得：
$ 3x - 2×(-x) = 15 $
化简得：$ 3x + 2x = 15 $
合并同类项得：$ 5x = 15 $
系数化为1得：$ x = 3 $
【答案】
3
【知识点】
相反数的定义；合并同类项；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是利用相反数的性质建立未知数和等式关系，再运用合并同类项的方法求解一元一次方程，是对基础概念和基础运算的综合考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先抓住题目中“两个方格内的数互为相反数”这一核心条件，我们可以设第一个方格内的数为x，根据相反数的定义，第二个方格内的数就是-x，再将两个未知数代入原等式，就能得到关于x的一元一次方程，接下来按照合并同类项解一元一次方程的步骤求解即可得到答案。
【解析】
设第一个方格内的数为$ x $，因为两个方格内的数互为相反数，所以第二个方格内的数为$ -x $。
将两个数代入原等式可得：
$ 3x - 2×(-x) = 15 $
化简得：$ 3x + 2x = 15 $
合并同类项得：$ 5x = 15 $
系数化为1得：$ x = 3 $
【答案】
3
【知识点】
相反数的定义；合并同类项；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是利用相反数的性质建立未知数和等式关系，再运用合并同类项的方法求解一元一次方程，是对基础概念和基础运算的综合考查。
【难度系数】
0.8
9. 王阿姨的花店,有红色、黄色和蓝色三种玫瑰花一共 62 朵,其中红色的数量与黄色的数量的比是$9:10$,黄色的数量与蓝色的数量的比为$5:6$.红色的玫瑰花有多少朵？
答案
解:
(1)因为红色的数量与黄色的数量的比是9:10,黄色的数量与蓝色的数量的比为5:6=10:12,
所以红色、黄色和蓝色三种玫瑰花的数量比为9:10:12.
设红色玫瑰花的数量为9x,则黄色和蓝色玫瑰花的数量分别为10x,12x.
由题意,得9x+10x+12x=62,解得x=2.
所以9x=18.
答:红色的玫瑰花有18朵.
(1)因为红色的数量与黄色的数量的比是9:10,黄色的数量与蓝色的数量的比为5:6=10:12,
所以红色、黄色和蓝色三种玫瑰花的数量比为9:10:12.
设红色玫瑰花的数量为9x,则黄色和蓝色玫瑰花的数量分别为10x,12x.
由题意,得9x+10x+12x=62,解得x=2.
所以9x=18.
答:红色的玫瑰花有18朵.
解析
【分析】
解题时首先观察到题目给出了两个两两的数量比，两个比中都涉及黄色玫瑰花的数量，因此首先要以黄色玫瑰的份数为中间量，统一两个比中黄色的份数，得到三种玫瑰的数量连比；接下来可以根据连比设每份的数量为x，分别表示出三种玫瑰的数量，再根据三种玫瑰的总数量为62朵列出一元一次方程，通过合并同类项解方程求出x的值，最后代入红色玫瑰对应的表达式计算即可得到结果。
【解析】
1. 统一比例：已知红色与黄色数量比是9:10，黄色与蓝色数量比为5:6，将后者的前项、后项同时乘2得5:6=10:12，此时黄色的份数统一为10份，因此红色、黄色、蓝色三种玫瑰花的数量比为9:10:12。
2. 设未知数：设红色玫瑰花的数量为9x朵，则黄色玫瑰花数量为10x朵，蓝色玫瑰花数量为12x朵。
3. 列方程求解：根据三种玫瑰总数量为62朵，列方程得：
$9x + 10x + 12x = 62$
合并同类项得$31x = 62$，解得$x=2$。
4. 计算红色玫瑰数量：$9x=9×2=18$（朵）
【答案】
18朵
【知识点】
比的应用；一元一次方程求解；合并同类项
【点评】
本题属于比例与方程结合的基础应用题，解题核心是通过统一中间量的份数得到三类物品的数量比，再结合总量建立方程求解，能有效巩固比例转化和一元一次方程的解法。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到题目给出了两个两两的数量比，两个比中都涉及黄色玫瑰花的数量，因此首先要以黄色玫瑰的份数为中间量，统一两个比中黄色的份数，得到三种玫瑰的数量连比；接下来可以根据连比设每份的数量为x，分别表示出三种玫瑰的数量，再根据三种玫瑰的总数量为62朵列出一元一次方程，通过合并同类项解方程求出x的值，最后代入红色玫瑰对应的表达式计算即可得到结果。
【解析】
1. 统一比例：已知红色与黄色数量比是9:10，黄色与蓝色数量比为5:6，将后者的前项、后项同时乘2得5:6=10:12，此时黄色的份数统一为10份，因此红色、黄色、蓝色三种玫瑰花的数量比为9:10:12。
2. 设未知数：设红色玫瑰花的数量为9x朵，则黄色玫瑰花数量为10x朵，蓝色玫瑰花数量为12x朵。
3. 列方程求解：根据三种玫瑰总数量为62朵，列方程得：
$9x + 10x + 12x = 62$
合并同类项得$31x = 62$，解得$x=2$。
4. 计算红色玫瑰数量：$9x=9×2=18$（朵）
【答案】
18朵
【知识点】
比的应用；一元一次方程求解；合并同类项
【点评】
本题属于比例与方程结合的基础应用题，解题核心是通过统一中间量的份数得到三类物品的数量比，再结合总量建立方程求解，能有效巩固比例转化和一元一次方程的解法。
【难度系数】
0.7
