6. 七(5)班的小虎同学,对算式$-24× (\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{3})+{2}^{2}÷ (\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})$进行计算时的过程如下：
解：$-24× (\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{3})+{2}^{2}÷ (\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})$
$=-24× \dfrac{1}{8}+(-24)× (-\dfrac{1}{3})+4÷ (\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})…$第一步
$=-3+8+4÷ \dfrac{1}{2}-4÷ \dfrac{1}{3}…$第二步
$=5+8-12…$第三步
$=1.…$第四步
根据小虎的计算过程,回答下列问题：
(1)小虎在进行计算第一步时运用了______律；
(2)他在计算中出现了错误,你认为他在第______步出错了；
(3)请你给出正确的解答过程。

6.解:
(1)乘法分配
(2)二
(3)$-24× \left(\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{3}\right)+2^{2}÷ \left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)$
$=(-24)× \dfrac{1}{8}+(-24)× \left(-\dfrac{1}{3}\right)+4÷ \dfrac{1}{6}$
$=-3+8+24$
$=29$.

【分析】
本题考查有理数混合运算及运算律的应用，解题思路如下：(1)观察第一步的运算形式，将括号外的因数分别乘括号内的两项，符合乘法分配律的特征，直接判断即可；(2)逐步骤核对运算规则：除法没有分配律，不能将被除数分别除以括号内的两个数，据此可找到出错步骤；(3)计算时严格遵循运算顺序：先算乘方，有括号先算括号内的运算，再算乘除，最后算加减，乘法部分可正确使用分配律简化计算。
【解析】
(1) 第一步运算满足$a×(b-c)=a× b - a× c$的形式，是乘法分配律的应用。
(2) 第二步出错，原因是除法不具备分配律，不能将$4÷(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})$拆分为$4÷\frac{1}{2}-4÷\frac{1}{3}$，应先计算括号内的减法，再计算除法。
(3) 正确解答过程：
$\begin{split}&-24× (\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{3})+2^{2}÷ (\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})\\=&(-24)× \dfrac{1}{8}+(-24)× (-\dfrac{1}{3})+4÷ \dfrac{1}{6}\\=&-3+8+24\\=&29\end{split}$
【答案】
(1) 乘法分配
(2) 二
(3) 计算结果为$\boldsymbol{29}$，正确过程见解析。
【知识点】
乘法分配律，有理数混合运算，有理数除法运算
【点评】
本题需要注意运算律的适用范围，乘法分配律仅适用于乘法运算，不可随意套用到除法中；计算时要严格按照有理数混合运算的顺序进行，避免因乱用运算规则出现错误。
【难度系数】
0.8

7. 小明在电脑上设计了一个有理数的运算程序：输入$a$,加$*$键,再输入$b$,得到运算$a*b= ({a}^{2}-{b}^{2})÷ (a-b)$。
(1)求$(-2)*\dfrac{1}{2}$的值。
(2)小明在运用此程序计算时,屏幕上显示“该程序无法操作”,请你运用所学的数学知识猜想一下,小明在输入数值时,出现了什么情况？为什么？

7.解:
(1)因为$a*b=(a^{2}-b^{2})÷ (a-b)$,
所以$(-2)*\dfrac{1}{2}$
$=\left[(-2)^{2}-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}\right]÷ \left(-2-\dfrac{1}{2}\right)$
$=\left(4-\dfrac{1}{4}\right)÷ \left(-\dfrac{5}{2}\right)$
$=\dfrac{15}{4}× \left(-\dfrac{2}{5}\right)$
$=-\dfrac{3}{2}$.
(2)小明输入的数据a,b相等.
因为除数不能为0,
所以运算$a*b=(a^{2}-b^{2})÷ (a-b)$时,若$a=b$,即$a-b=0$时,运算无法进行,所以屏幕上显示"该程序无法操作".

【分析】
本题考查新定义下的有理数运算及除法运算的限制条件。对于第(1)问，解题思路是先明确新定义运算*的规则，将$a=-2$，$b=\dfrac{1}{2}$代入给定的运算公式，再按照有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算括号内的减法，最后计算除法即可得到结果。对于第(2)问，程序无法操作说明运算出现了不符合数学规则的情况，观察运算式含有除法，回忆除法运算的要求：除数不能为0，因此找到使除数$a-b=0$的情况即可得到原因。
【解析】
(1) 根据题意给出的运算规则$a*b= ({a}^{2}-{b}^{2})÷ (a-b)$，将$a=-2$，$b=\dfrac{1}{2}$代入得：
$\begin{split}(-2)*\dfrac{1}{2}&=[(-2)^{2}-(\dfrac{1}{2})^{2}]÷ (-2-\dfrac{1}{2})\\&=(4-\dfrac{1}{4})÷ (-\dfrac{5}{2})\\&=\dfrac{15}{4}× (-\dfrac{2}{5})\\&=-\dfrac{3}{2}\end{split}$
(2) 小明输入的两个数值$a$和$b$相等。理由如下：
除法运算中除数不能为0，在运算$a*b= ({a}^{2}-{b}^{2})÷ (a-b)$中，除数为$a-b$，若$a=b$，则$a-b=0$，此时除法运算无意义，因此程序无法操作，屏幕显示“该程序无法操作”。
【答案】
(1) $-\dfrac{3}{2}$；(2) 输入的$a$和$b$相等，因为当$a=b$时，除数$a-b=0$，除法无意义。
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算、除数不为0
【点评】
本题结合新运算的形式，既考查了有理数混合运算的计算能力，也考查了对除法运算隐含条件的理解，解题的关键是准确理解新定义的运算规则，计算时注意符号的处理，同时不要忽略运算中的限制条件。
【难度系数】
0.8

8. 观察下列一组算式：${3}^{2}-{1}^{2}= 8= 8× 1,{5}^{2}-{3}^{2}= 16= 8× 2,{7}^{2}-{5}^{2}= 24= 8× 3,{9}^{2}-{7}^{2}= 32= 8× 4,…$,根据你所发现的规律,猜想${2023}^{2}-{2021}^{2}= 8×$______。

1011 解析:因为$\dfrac{3-1}{2}=1$,$\dfrac{5-1}{2}=2$,$\dfrac{7-1}{2}=3$,$\dfrac{9-1}{2}=4$,$\dfrac{2023-1}{2}=1011$,
所以$2023^{2}-2021^{2}=8× 1011$.

【分析】
首先观察给出的等式，都是相邻两个奇数的平方差，结果均为8与某个正整数的乘积。我们先从已知的4组等式中找规律：每组等式里较大的奇数分别是3、5、7、9，对应的8后面的乘数分别是1、2、3、4，计算可得每组“（较大奇数-1）÷2”的结果正好等于对应的乘数，找到这个规律后，把所求式子中的较大奇数2023代入规律计算即可。
【解析】
观察已知等式可总结规律：
当较大奇数为3时，对应乘数为$(3-1)÷2=1$，即$3^2-1^2=8×1$；
当较大奇数为5时，对应乘数为$(5-1)÷2=2$，即$5^2-3^2=8×2$；
当较大奇数为7时，对应乘数为$(7-1)÷2=3$，即$7^2-5^2=8×3$；
当较大奇数为9时，对应乘数为$(9-1)÷2=4$，即$9^2-7^2=8×4$；
可得通用规律：相邻两个奇数的平方差等于8乘以（较大奇数减1的差除以2）。
所求式子$2023^2-2021^2$中，较大奇数是2023，代入计算：
$(2023-1)÷2=2022÷2=1011$
因此$2023^2-2021^2=8×1011$。
【答案】
1011
【知识点】
数字规律探究，有理数的混合运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，重点考查观察能力和归纳总结能力，解题核心是从已知等式中提炼出乘数与较大奇数的数量关系，代入计算即可得到结果。
【难度系数】
0.7

9. “今有蒲生一日,长三尺；蒲生日自半”。其意思是蒲这种植物,第一日长了3尺,以后每日生长的长度是前一日的一半。请计算出第四日蒲的长度为______尺。

$\dfrac{45}{8}$ 解析:第四日后,蒲的长度为$3+3× \dfrac{1}{2}+3× \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}+3× \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}=3+\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{8}=\dfrac{45}{8}$(尺).

【分析】
解题时首先明确蒲的生长规律：第1日生长3尺，之后每日生长长度是前一日的$\frac{1}{2}$，要求第四日蒲的总长度，需要先求出前4天每天的生长量，再将4天的生长量相加，按照有理数混合运算的规则逐步计算即可。
【解析】
解：根据题意可得：
蒲第1日生长长度为3尺；
蒲第2日生长长度为$3× \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$尺；
蒲第3日生长长度为$3× (\frac{1}{2})^2=3× \frac{1}{4}=\frac{3}{4}$尺；
蒲第4日生长长度为$3× (\frac{1}{2})^3=3× \frac{1}{8}=\frac{3}{8}$尺。
第四日蒲的总长度为4天生长量的和：
$\begin{aligned}&3+\frac{3}{2}+\frac{3}{4}+\frac{3}{8}\\=&\frac{24}{8}+\frac{12}{8}+\frac{6}{8}+\frac{3}{8}\\=&\frac{24+12+6+3}{8}\\=&\frac{45}{8}（尺）\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{45}{8}$
【知识点】
有理数乘方运算，有理数混合运算，分数通分计算
【点评】
本题结合古代数学背景考查有理数运算的实际应用，解题时要注意区分所求为多日生长总长度还是单日生长长度，计算时严格遵循“先乘方，后乘除，最后加减”的运算顺序，通分要准确，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.7

10. 观察下面三行数：
第一行数：$2,-4,8,-16,32,-64,…$；
第二行数：$0,-6,6,-18,30,-66,…$；
第三行数：$0,-3,3,-9,15,-33,…$。
(1)第一行中的数可以看成按什么规律排列的？第8个数是多少？
(2)第二行中的数与第一行中的数、第三行中的数与第二行中的数分别有什么关系？
(3)根据第一行数的排列规律,以及这三行数字之间的关系,计算第三行第8个数。

10.解:
(1)第一行中的数可以看成按如下规律排列的:$2$,$-2^{2}$,$2^{3}$,$-2^{4}$,$\cdots$.第一行数的第8个数是$-2^{8}=-256$.
(2)对比第一、二行中相应位置对应的数,可以发现:第二行中的数是第一行中相应的数减2,即$2-2$,$-2^{2}-2$,$2^{3}-2$,$-2^{4}-2$,$\cdots$;
对比第二、三行中相应位置对应的数,可以发现:第三行中的数是第二行中相应位置数的$\dfrac{1}{2}$,即$0× \dfrac{1}{2}$,$(-6)× \dfrac{1}{2}$,$6× \dfrac{1}{2}$,$(-18)× \dfrac{1}{2}$,$\cdots$.
(3)第三行第8个数是$[(-256)-2]× \dfrac{1}{2}=-129$.

【分析】
我们可以分三步思考解题：
1. 解决第一问时，先分别观察第一行数字的符号和绝对值特征：符号正负交替，奇数位为正、偶数位为负，绝对值依次是2的1次方、2的2次方、2的3次方……，总结出第n个数的规律后，代入n=8即可求出第8个数。
2. 解决第二问时，把第一行和第二行、第二行和第三行相同位置的数做对比，通过作差、作商就能找到两行数之间的数量关系。
3. 解决第三问时，先根据第一问的规律求出第一行第8个数，再按照第二问得到的三行数字的关系，依次计算出第二行第8个数、第三行第8个数即可。
【解析】
(1) 观察第一行数字：$2=(-1)^{1+1}×2^1$，$-4=(-1)^{2+1}×2^2$，$8=(-1)^{3+1}×2^3$，$-16=(-1)^{4+1}×2^4$……，规律为第$n$个数是$(-1)^{n+1}·2^n$，也可表述为：奇数项为正，偶数项为负，绝对值是$2$的$n$次幂。
当$n=8$时，第8个数为$(-1)^{8+1}×2^8=-256$。
(2) 对比第一、二行同位置的数：$2-2=0$，$-4-2=-6$，$8-2=6$，$-16-2=-18$……，可得：第二行的数等于第一行对应位置的数减2。
对比第二、三行同位置的数：$0×\frac{1}{2}=0$，$-6×\frac{1}{2}=-3$，$6×\frac{1}{2}=3$，$-18×\frac{1}{2}=-9$……，可得：第三行的数等于第二行对应位置的数乘$\frac{1}{2}$（或除以2）。
(3) 已知第一行第8个数是$-256$，则：
第二行第8个数为$-256-2=-258$
第三行第8个数为$-258×\frac{1}{2}=-129$
【答案】
(1) 规律为第$n$个数是$(-1)^{n+1}·2^n$（奇数项为正，偶数项为负，绝对值是$2$的$n$次幂），第8个数是$-256$；
(2) 第二行的数是第一行对应数减2，第三行的数是第二行对应数的$\frac{1}{2}$；
(3) 第三行第8个数是$-129$。
【知识点】
数字规律探究，有理数混合运算，乘方的意义
【点评】
本题需要学生通过观察、对比归纳出数字的排列规律以及不同行数字之间的数量关系，结合乘方和有理数的加减乘运算求解，侧重考查学生的观察能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7