例2 如图6.7.4，在平面直角坐标系中，已知点$A$的坐标为$(6,\frac{9}{2})$，点$B$的坐标为$(6,0)$。
(1)以原点$O$为位似中心，将线段$AB$按相似比$2:1$放大，并且对应线段$CD$在$y$轴左侧，其中，点$C$与点$A$对应，点$D$与点$B$对应。直接写出$C$、$D$两点的坐标。
(2)在(1)中，若将$y$轴正半轴上的点$P$作为位似中心，其余条件不变，且点$A$的对应点$C$恰好在$x$轴上，求点$P$的坐标。
(3)试探究(2)中的$\frac{1}{AB}$、$\frac{1}{CD}$、$\frac{1}{OP}$之间的关系。

​解：(1)C(-12 ， -9) ， D(-12 ， 0)
​​(2)由题意可得，CP： AP=2： 1 ， △PCD∽△PAB
​​因为△PCD∽△PAB
​​所以∠CDP=∠ABP​​
所以AB//CD​​
所以△POC∽△ABC
​​因为CP：AP=2：1
​​所以$\frac {OP}{AB}=\frac {CP}{AC}=\frac {2}{3}​​$
所以点A坐标为(6，$\frac {9}{2})，$​​即$AB=\frac {9}{2}​​$
所以OP=3
​​所以点P的坐标为(0，3)​​
(3)因为△POC∽△ABC
​​所以$\frac {OP}{AB}=\frac {CP}{AC}$
​​因为AB//CD
​​所以△POB∽△DCB
​​因为△PAB∽△PCD
​​所以$\frac {OP}{CD}=\frac {BP}{BD}=\frac {AP}{AC}​​$
所以$\frac {OP}{AB}+\frac {OP}{CD}=\frac {CP}{AC}+\frac {AP}{AC}=1​​$
所以$\frac {1}{AB}+\frac {1}{CD}=\frac {1}{OP}$

1. 小华设计如图的测量方式来测量河宽$DE$，其中$\triangle ABD$、$\triangle ACE$都为直角三角形。已知量得$AD = 20\mathrm{m}$，$BD = 15\mathrm{m}$，$CE = 45\mathrm{m}$，则河宽$DE$为()

A.$50\mathrm{m}$
B.$40\mathrm{m}$
C.$60\mathrm{m}$
D.$80\mathrm{m}$

B

2. 如图，$D$为$Rt\triangle ABC$斜边$AB$上的任意一点(与点$A$、$B$不重合)，过点$D$作一条直线截$\triangle ABC$，使截得的小三角形与$\triangle ABC$相似，满足这样条件的直线的作法共有()

A.$1$种
B.$2$种
C.$3$种
D.$4$种

C