7. 如图,一艘船以30n mile/h的速度向北偏东$45^{\circ }$方向航行,在A处时观测灯塔S在北偏东$75^{\circ }$的方向,航行12min后到达B处时再观测灯塔S恰好在正东方向.已知距离此灯塔8n mile以外的海区为航行安全区域,这艘船可以继续沿北偏东$45^{\circ }$方向航行吗? 为什么?

(第7题)

解：可以，理由如下：
过点​S ​作​AB​的垂线，交​AB​的延长线于点​C​

由题意可知，​∠CAS=75°-45°=30°，​​∠CBS=45°​
设​CS= x​海里
在​Rt△ACS ​中，∵​∠CAS=30°，​​CS=x，$​​AC=\sqrt 3CS=\sqrt 3x​$
在​Rt△BCS ​中，∵​∠CBS=45°，​​CS=x​
∴​BC= CS=x​
∵$​AB= \frac {12}{60}× 30= 6​$海里
∴$​\sqrt 3x-x=6​$
解得，$​x= 3\sqrt 3+3≈8.2​$
∵点​S ​到直线​AB​的距离​CS=8.2​海里$​\gt 8​$海里
∴这艘船可以继续沿北偏东​45°​方向航行

8. 如图,某海岛附近海域有两艘自西向东航行的船A、B,船B在船A的正东方向,且两船保持20n mile的距离,某一时刻两船同时测得在船A的东北方向、船B的北偏东$15^{\circ }$方向有一艘船C.求此时船C与船B的距离(保留根号).

(第8题)

解：过点​B​作​BD ⊥AC，​垂足为​D​

由题意，可知​∠BAC=45°，​​∠ABC=90°+15°=105°​
∴​∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=30°​
在​Rt△ABD​中，$​BD=AB · s in ∠BAD=20× \frac {\sqrt 2}2=10 \sqrt{2} (​$海里)
在​ Rt△BCD​中，$​BC=\frac {BD}{sin∠BCD}= \frac {10\sqrt{2}}{\frac {1}{2}}=20 \sqrt{2} (​$海里)
∴此时船​C​与船​B​的距离是$​20 \sqrt{2} ​$海里

9. 如图,要在宽22m的九洲大道AB两边安装路灯,路灯的灯臂CD的长为2m,且与灯柱BC成$120^{\circ }$角,路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的中轴线DO与灯臂CD垂直,当灯罩的中轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳. 此时,路灯的灯柱BC的高度应为多少米(保留根号)?

(第9题)

解：过点​D​作​DE⊥AB，​垂足为​E，​过点​C​作​CF⊥DE，​垂足为​F​

∵​∠DCB=120°，​​CB⊥AB，​​OD⊥CD​
∴​∠DOB=360°-∠DCB-∠CBO-∠ODC=360°-120°-90°-90°=60°，​即​∠DCF=30°​
∴$​CF=CD · cos_{30}°=2× \frac {\sqrt{3}}{2}=\sqrt 3，$$​​DF=\frac {1}{2}\ \mathrm {CD}=1​$
∴$​CF=BE=\sqrt{3} ​$
∴$​OE=OB-BE=\frac {1}{2}\ \mathrm {AB}-BE=11-\sqrt{3} ​$
∴$​DE= tan 60° · OE =\sqrt{3} (11- \sqrt{3} )=11 \sqrt{3} -3​$
∴$​BC=DE-DF=11 \sqrt{3} -3-1=11 \sqrt{3} -4​$