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8. 将一个长8厘米、宽5厘米、高3厘米的长方体截成一个体积最大的正方体。这个正方体的体积是多少？
答案
8. 3×3×3=27 (cm³)
解析
【分析】
要解决从长方体中截出体积最大的正方体的问题，关键在于确定正方体的棱长。正方体的每条棱长度相等，所以截出的正方体棱长不能超过长方体长、宽、高中的最小值，否则无法在长方体内截出该正方体。观察题目中的长方体，长8厘米、宽5厘米、高3厘米，其中最小的维度是高3厘米，因此这个最大正方体的棱长只能是3厘米，再根据正方体体积公式计算体积即可。
【解析】
1. 确定最大正方体的棱长：
长方体的长、宽、高分别为8厘米、5厘米、3厘米，其中最小的长度是3厘米，所以截出的最大正方体的棱长为3厘米。
2. 计算正方体的体积：
根据正方体体积公式$V = a^3$（其中$a$为正方体的棱长），可得：
$V = 3×3×3 = 27$（立方厘米）
【答案】
$27cm³$（或27立方厘米）
【知识点】
正方体体积计算；长方体截最大正方体
【点评】
本题考查正方体体积的实际应用，核心是明确从长方体中截出最大正方体时，正方体的棱长等于长方体长、宽、高中的最小值，只要找准这个关键数据，就能利用正方体体积公式轻松求解，属于基础几何应用题。
【难度系数】
0.8
要解决从长方体中截出体积最大的正方体的问题，关键在于确定正方体的棱长。正方体的每条棱长度相等，所以截出的正方体棱长不能超过长方体长、宽、高中的最小值，否则无法在长方体内截出该正方体。观察题目中的长方体，长8厘米、宽5厘米、高3厘米，其中最小的维度是高3厘米，因此这个最大正方体的棱长只能是3厘米，再根据正方体体积公式计算体积即可。
【解析】
1. 确定最大正方体的棱长：
长方体的长、宽、高分别为8厘米、5厘米、3厘米，其中最小的长度是3厘米，所以截出的最大正方体的棱长为3厘米。
2. 计算正方体的体积：
根据正方体体积公式$V = a^3$（其中$a$为正方体的棱长），可得：
$V = 3×3×3 = 27$（立方厘米）
【答案】
$27cm³$（或27立方厘米）
【知识点】
正方体体积计算；长方体截最大正方体
【点评】
本题考查正方体体积的实际应用，核心是明确从长方体中截出最大正方体时，正方体的棱长等于长方体长、宽、高中的最小值，只要找准这个关键数据，就能利用正方体体积公式轻松求解，属于基础几何应用题。
【难度系数】
0.8
9. 一个长方体游泳池，长50米，宽25米，深1.8米，在它的底面和四壁贴上瓷砖，贴瓷砖的面积有多少平方米？如果用边长2分米的正方形瓷砖来贴，至少需要多少块？
答案
9. 50×25+50×1.8×2+25×1.8×2=1520 (m²) 1520 m²=152000 dm² 152000÷(2×2)=38000 (块)
解析
【分析】
首先，我们要明确游泳池贴瓷砖的区域是底面和四壁，也就是长方体去掉顶面后的5个面的面积。解题思路分为两步：第一步计算贴瓷砖的总面积，先算底面（长×宽），再分别计算前后两个面（长×深×2）和左右两个面（宽×深×2），将这三部分面积相加得到总面积；第二步计算所需瓷砖块数，先统一面积单位（把平方米换算成平方分米，因为瓷砖边长单位是分米），再算出每块瓷砖的面积（边长×边长），最后用贴瓷砖的总面积除以每块瓷砖的面积，得到瓷砖的块数。
【解析】
1. 计算贴瓷砖的面积：
底面面积：$50×25 = 1250$（平方米）
前后两个面的面积：$50×1.8×2 = 180$（平方米）
左右两个面的面积：$25×1.8×2 = 90$（平方米）
贴瓷砖的总面积：$1250 + 180 + 90 = 1520$（平方米）
2. 计算所需瓷砖块数：
单位换算：$1520$平方米$= 1520×100 = 152000$平方分米
每块瓷砖的面积：$2×2 = 4$（平方分米）
所需瓷砖块数：$152000÷4 = 38000$（块）
【答案】
贴瓷砖的面积有1520平方米，至少需要38000块瓷砖。
【知识点】
长方体表面积应用、面积单位换算、整数除法应用
【点评】
本题考查长方体表面积在实际生活中的应用，关键是要注意游泳池无顶面，只需计算5个面的面积；同时要注意单位的统一，避免因单位不一致导致计算错误，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
首先，我们要明确游泳池贴瓷砖的区域是底面和四壁，也就是长方体去掉顶面后的5个面的面积。解题思路分为两步：第一步计算贴瓷砖的总面积，先算底面（长×宽），再分别计算前后两个面（长×深×2）和左右两个面（宽×深×2），将这三部分面积相加得到总面积；第二步计算所需瓷砖块数，先统一面积单位（把平方米换算成平方分米，因为瓷砖边长单位是分米），再算出每块瓷砖的面积（边长×边长），最后用贴瓷砖的总面积除以每块瓷砖的面积，得到瓷砖的块数。
【解析】
1. 计算贴瓷砖的面积：
底面面积：$50×25 = 1250$（平方米）
前后两个面的面积：$50×1.8×2 = 180$（平方米）
左右两个面的面积：$25×1.8×2 = 90$（平方米）
贴瓷砖的总面积：$1250 + 180 + 90 = 1520$（平方米）
2. 计算所需瓷砖块数：
单位换算：$1520$平方米$= 1520×100 = 152000$平方分米
每块瓷砖的面积：$2×2 = 4$（平方分米）
所需瓷砖块数：$152000÷4 = 38000$（块）
【答案】
贴瓷砖的面积有1520平方米，至少需要38000块瓷砖。
【知识点】
长方体表面积应用、面积单位换算、整数除法应用
【点评】
本题考查长方体表面积在实际生活中的应用，关键是要注意游泳池无顶面，只需计算5个面的面积；同时要注意单位的统一，避免因单位不一致导致计算错误，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
10. 用两个完全一样的长方体（如图）拼成一个大长方体。大长方体的表面积最小是多少？
答案
10.
6×3×2+6×4×2+3×4×2=108 (cm²)解析
【分析】
要使拼成的大长方体表面积最小，需将两个小长方体中面积最大的面拼接在一起，这样拼接后减少的表面积最多，剩余的表面积就最小。首先确定原长方体的三个面的面积，找到最大的面，再计算拼接后大长方体的长、宽、高，最后根据长方体表面积公式计算大长方体的表面积。
1. 先计算原长方体三个不同面的面积：$6×3=18\ \mathrm{cm}^2$，$6×2=12\ \mathrm{cm}^2$，$3×2=6\ \mathrm{cm}^2$，其中最大的面是$6×3$的面。
2. 将两个长方体的最大面拼接后，大长方体的高变为$2×2=4\ \mathrm{cm}$，长和宽仍为6cm、3cm。
3. 再根据长方体表面积公式计算大长方体的表面积。
【解析】
步骤1：确定拼接方式
原长方体的三个面面积分别为：
$ 6×3 = 18\ \mathrm{cm}^2 $，$ 6×2 = 12\ \mathrm{cm}^2 $，$ 3×2 = 6\ \mathrm{cm}^2 $
选择面积最大的面（$ 6×3 $的面）拼接，此时大长方体的长为6cm，宽为3cm，高为$ 2×2 = 4\ \mathrm{cm} $。
步骤2：计算大长方体的表面积
根据长方体表面积公式$ S = 2(ab + ah + bh) $（其中$ a $为长，$ b $为宽，$ h $为高），代入数据：
$\begin{aligned}S&=2×(6×3 + 6×4 + 3×4)\\&=2×(18 + 24 + 12)\\&=2×54\\&=108\ \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
【答案】
$ 108\ \mathrm{cm}^2 $
【知识点】
长方体表面积计算，立体图形拼接的表面积变化
【点评】
本题关键在于理解“拼接后表面积最小”的条件是拼接最大的面，减少的表面积最多，需熟练掌握长方体表面积公式，并能分析立体图形拼接后的尺寸变化。
【难度系数】
0.6
要使拼成的大长方体表面积最小，需将两个小长方体中面积最大的面拼接在一起，这样拼接后减少的表面积最多，剩余的表面积就最小。首先确定原长方体的三个面的面积，找到最大的面，再计算拼接后大长方体的长、宽、高，最后根据长方体表面积公式计算大长方体的表面积。
1. 先计算原长方体三个不同面的面积：$6×3=18\ \mathrm{cm}^2$，$6×2=12\ \mathrm{cm}^2$，$3×2=6\ \mathrm{cm}^2$，其中最大的面是$6×3$的面。
2. 将两个长方体的最大面拼接后，大长方体的高变为$2×2=4\ \mathrm{cm}$，长和宽仍为6cm、3cm。
3. 再根据长方体表面积公式计算大长方体的表面积。
【解析】
步骤1：确定拼接方式
原长方体的三个面面积分别为：
$ 6×3 = 18\ \mathrm{cm}^2 $，$ 6×2 = 12\ \mathrm{cm}^2 $，$ 3×2 = 6\ \mathrm{cm}^2 $
选择面积最大的面（$ 6×3 $的面）拼接，此时大长方体的长为6cm，宽为3cm，高为$ 2×2 = 4\ \mathrm{cm} $。
步骤2：计算大长方体的表面积
根据长方体表面积公式$ S = 2(ab + ah + bh) $（其中$ a $为长，$ b $为宽，$ h $为高），代入数据：
$\begin{aligned}S&=2×(6×3 + 6×4 + 3×4)\\&=2×(18 + 24 + 12)\\&=2×54\\&=108\ \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
【答案】
$ 108\ \mathrm{cm}^2 $
【知识点】
长方体表面积计算，立体图形拼接的表面积变化
【点评】
本题关键在于理解“拼接后表面积最小”的条件是拼接最大的面，减少的表面积最多，需熟练掌握长方体表面积公式，并能分析立体图形拼接后的尺寸变化。
【难度系数】
0.6
11. 一个长方体水箱的容积是200 L。这个水箱的底面是一个边长为50 cm的正方形。这个水箱的高是多少厘米？
答案
11. 200 L=200 dm³=200000 cm³ 200000÷(50×50)=80 (cm)
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要借助长方体体积公式推导高的计算方法。首先，长方体的容积等价于体积，题目中容积单位是升，底面边长单位是厘米，因此第一步必须统一单位，将升转换为立方厘米。接着，根据长方体体积公式“体积=底面积×高”，可推导出“高=体积÷底面积”。底面是边长为50cm的正方形，先算出底面积，再用转换后的体积除以底面积，就能得到水箱的高。
【解析】
1. 单位换算：因为$1L = 1dm^3$，$1dm^3 = 1000cm^3$，所以$200L = 200dm^3 = 200×1000 = 200000cm^3$。
2. 计算水箱底面面积：底面是边长为50cm的正方形，底面积$=50×50 = 2500cm^2$。
3. 计算水箱的高：根据长方体体积公式变形，高$=$体积$÷$底面积，代入数值可得$200000÷2500 = 80(cm)$。
【答案】
80厘米
【知识点】
长方体体积计算，体积单位换算
【点评】
本题考查长方体体积公式的实际应用以及容积单位与体积单位的换算，解题关键是先统一单位，再灵活运用体积公式的变形进行计算，属于基础题型，侧重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们需要借助长方体体积公式推导高的计算方法。首先，长方体的容积等价于体积，题目中容积单位是升，底面边长单位是厘米，因此第一步必须统一单位，将升转换为立方厘米。接着，根据长方体体积公式“体积=底面积×高”，可推导出“高=体积÷底面积”。底面是边长为50cm的正方形，先算出底面积，再用转换后的体积除以底面积，就能得到水箱的高。
【解析】
1. 单位换算：因为$1L = 1dm^3$，$1dm^3 = 1000cm^3$，所以$200L = 200dm^3 = 200×1000 = 200000cm^3$。
2. 计算水箱底面面积：底面是边长为50cm的正方形，底面积$=50×50 = 2500cm^2$。
3. 计算水箱的高：根据长方体体积公式变形，高$=$体积$÷$底面积，代入数值可得$200000÷2500 = 80(cm)$。
【答案】
80厘米
【知识点】
长方体体积计算，体积单位换算
【点评】
本题考查长方体体积公式的实际应用以及容积单位与体积单位的换算，解题关键是先统一单位，再灵活运用体积公式的变形进行计算，属于基础题型，侧重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.8
12. 一根绳子长12 m，现要用它捆扎一种礼盒（如图），结头处的绳子长18 cm。这根绳子最多可以捆扎多少个这样的礼盒？
答案
12. 10×2+15×2+8×4+18=100 (cm) 100 cm=1 m 12÷1=12 (个)
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确捆扎一个礼盒所需绳子的长度组成：绳子围绕礼盒的部分包括2条宽、2条长、4条高，再加上结头处的长度。先计算出捆扎一个礼盒的总绳长，再将总绳长的单位统一后，用绳子的总长度除以单个礼盒的用绳长度，即可得到最多能捆扎的礼盒数量。
【解析】
1. 计算捆扎一个礼盒所需的绳子长度：
$\begin{aligned}&10×2 + 15×2 + 8×4 + 18\\=&20 + 30 + 32 + 18\\=&100\ (\mathrm{cm})\end{aligned}$
2. 单位换算：
因为 $100\ \mathrm{cm}=1\ \mathrm{m}$
3. 计算最多可捆扎的礼盒数量：
总绳子长12m，所以 $12÷1=12$（个）
【答案】
12个
【知识点】
长方体棱长应用、单位换算、除法实际应用
【点评】
本题考查长方体棱长在实际生活中的应用，需要准确分析捆扎礼盒时绳子所覆盖的棱的数量，同时注意单位的统一，通过除法运算解决实际的数量问题，培养学生的实际应用能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要明确捆扎一个礼盒所需绳子的长度组成：绳子围绕礼盒的部分包括2条宽、2条长、4条高，再加上结头处的长度。先计算出捆扎一个礼盒的总绳长，再将总绳长的单位统一后，用绳子的总长度除以单个礼盒的用绳长度，即可得到最多能捆扎的礼盒数量。
【解析】
1. 计算捆扎一个礼盒所需的绳子长度：
$\begin{aligned}&10×2 + 15×2 + 8×4 + 18\\=&20 + 30 + 32 + 18\\=&100\ (\mathrm{cm})\end{aligned}$
2. 单位换算：
因为 $100\ \mathrm{cm}=1\ \mathrm{m}$
3. 计算最多可捆扎的礼盒数量：
总绳子长12m，所以 $12÷1=12$（个）
【答案】
12个
【知识点】
长方体棱长应用、单位换算、除法实际应用
【点评】
本题考查长方体棱长在实际生活中的应用，需要准确分析捆扎礼盒时绳子所覆盖的棱的数量，同时注意单位的统一，通过除法运算解决实际的数量问题，培养学生的实际应用能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.8
