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9. 先分解因式,然后计算求值:
(1)$a^3b + 2a^2b^2 + ab^3$,其中$a + b = 5,ab = 7$;
(2)$4a^2(x + 7) - (x + 7)$,其中$a = -3.5,x = 3$.
(1)$a^3b + 2a^2b^2 + ab^3$,其中$a + b = 5,ab = 7$;
(2)$4a^2(x + 7) - (x + 7)$,其中$a = -3.5,x = 3$.
答案
解：(1)原式=ab(a²+2ab+b²)
=ab(a+b)²，
当a+b=5，ab=7时，
原式=7×5²=7×25=175；
(2)原式=(x+7)(4a²-1)
=(x+7)(2a-1)(2a+1)，
当a=-3.5，x=3时，2a=-7，
原式=(3+7)×(-7-1)×(-7+1)
=10×(-8)×(-6)
=480
=ab(a+b)²，
当a+b=5，ab=7时，
原式=7×5²=7×25=175；
(2)原式=(x+7)(4a²-1)
=(x+7)(2a-1)(2a+1)，
当a=-3.5，x=3时，2a=-7，
原式=(3+7)×(-7-1)×(-7+1)
=10×(-8)×(-6)
=480
10. 小明发现任意两个连续偶数的平方和是4的奇数倍,他的发现对吗?
(1) 证明小明的发现.
(2) 拓展:任意三个连续偶数的平方和是4的倍数吗?
(1) 证明小明的发现.
(2) 拓展:任意三个连续偶数的平方和是4的倍数吗?
答案
解：(1)
$\begin {aligned}(2n)^2+(2n + 2)^2&=4n^2+4n^2+8n + 4\\&=8n^2+8n + 4\\&=4(2n^2+2n + 1)\\&=4[2(n^2+n)+1]\end {aligned}$
∵$n^2+n$是整数，∴$2(n^2+n)+1$是奇数，得证
(2) 设这三个数是2n，2n + 2，2n + 4，
其平方和是$12n^2+24n + 20 = 4(3n^2+6n + 5)$，是4的倍数
$\begin {aligned}(2n)^2+(2n + 2)^2&=4n^2+4n^2+8n + 4\\&=8n^2+8n + 4\\&=4(2n^2+2n + 1)\\&=4[2(n^2+n)+1]\end {aligned}$
∵$n^2+n$是整数，∴$2(n^2+n)+1$是奇数，得证
(2) 设这三个数是2n，2n + 2，2n + 4，
其平方和是$12n^2+24n + 20 = 4(3n^2+6n + 5)$，是4的倍数
