例1 已知一组数据：1，3，5，5，6，则这组数据的平均数是，离差平方和是，方差是。
【思路导析】根据离差平方和与方差的定义进行分析和计算。
【请你解答】，，。

4，16，3.2

1. 计算平均数：
平均数$\bar{x}=\frac{1 + 3+5+5+6}{5}=\frac{20}{5}=4$。
2. 计算离差平方和：
$(1 - 4)^2+(3 - 4)^2+(5 - 4)^2+(5 - 4)^2+(6 - 4)^2$
$=(-3)^2+(-1)^2+1^2+1^2+2^2$
$=9 + 1+1+1+4$
$=16$
3. 计算方差：
方差$s^{2}=\frac{1}{5}×[(1 - 4)^2+(3 - 4)^2+(5 - 4)^2+(5 - 4)^2+(6 - 4)^2]=\frac{1}{5}×16 = 3.2$。

例2 体育课上，八(1)班两个小组各10人参加立定跳远，要判断哪个小组的成绩比较整齐，通常要知道这两个小组立定跳远成绩的()

A.平均数
B.众数
C.方差
D.频数分布情况
【思路导析】方差越小，数据的波动越小，成绩越整齐。
【请你解答】。

C

根据题意，要判断哪个小组的成绩比较整齐，需要知道两组数据的波动大小。方差是用来衡量数据波动大小的统计量，方差越小，数据的波动越小，成绩越整齐。因此需要知道这两个小组立定跳远成绩的方差。

例3 小林和小明练习射击，第一轮10枪打完后两人打靶的环数如图所示，通常新手的成绩不太稳定，那么根据图中的信息，估计小林和小明两人中，新手是。
【探究点拨】各数据离平均数越远，方差就越大，离散程度就越大，越不稳定。

【规范解答】新手是小林。

小林

根据题意，新手的成绩不太稳定，即数据的离散程度较大。
通过观察图表，小林的环数波动较大，而小明的环数相对稳定。
离散程度可以用方差来衡量，方差越大，数据的离散程度越大，成绩越不稳定。
因此，新手是小林。

某学生在一学期的6次测验中，语文、数学成绩分别为：
语文：80，84，88，76，79，85
数学：80，75，90，64，88，95
试判断该学生是数学成绩稳定还是语文成绩稳定。

1. 计算语文成绩的平均数：
$\bar{x}_{语文} = \frac{80 + 84 + 88 + 76 + 79 + 85}{6} = \frac{492}{6} = 82$
2. 计算语文成绩的方差：
$ s^2_{语文} = \frac{(80-82)^2 + (84-82)^2 + (88-82)^2 + (76-82)^2 + (79-82)^2 + (85-82)^2}{6} $
$ = \frac{(-2)^2 + 2^2 + 6^2 + (-6)^2 + (-3)^2 + 3^2}{6} = \frac{4 + 4 + 36 + 36 + 9 + 9}{6} = \frac{98}{6} \approx 16.33 $
3. 计算数学成绩的平均数：
$\bar{x}_{数学} = \frac{80 + 75 + 90 + 64 + 88 + 95}{6} = \frac{492}{6} = 82$
4. 计算数学成绩的方差：
$ s^2_{数学} = \frac{(80-82)^2 + (75-82)^2 + (90-82)^2 + (64-82)^2 + (88-82)^2 + (95-82)^2}{6} $
$ = \frac{(-2)^2 + (-7)^2 + 8^2 + (-18)^2 + 6^2 + 13^2}{6} = \frac{4 + 49 + 64 + 324 + 36 + 169}{6} = \frac{646}{6} \approx 107.67 $
5. 比较方差：
$16.33 ＜ 107.67$，即 $s^2_{语文} ＜ s^2_{数学}$
结论：该学生语文成绩稳定。