例 1 下列说法正确的是()

A.无限小数是无理数
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$是分数
C.无理数是开不尽方的数
D.实数包括有理数和无理数
【思路导析】无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数. $\frac{\sqrt{3}}{2}$不是分数，是无理数. 开不尽方的数是无理数，反过来则不准确.
【请你解答】.

【例1】D

例 2 把下列各数填在相应的大括号内.
$-6,\frac{π}{4},-\frac{2}{3},-|-3|,\frac{22}{7},-0.4,\sqrt{6},0,\sqrt{64},-\sqrt[3]{\frac{125}{64}}$.
自然数：{$···$}；
整数：{$···$}；
负分数：{$···$}；
正实数：{$···$}；
有理数：{$···$}；
无理数：{$···$}.
【思路导析】由实数的定义及分类作答.
【请你解答】.

【例2】自然数:$\{ 0,\sqrt{64},··· \} $;
整数:$\{ -6,-|-3|,0,\sqrt{64},··· \} $;
负分数:$\{ -\dfrac{2}{3},-0.4,-\sqrt[3]{\dfrac{125}{64}},··· \} $;
正实数:$\{ \dfrac{π}{4},\dfrac{22}{7},\sqrt{6},\sqrt{64},··· \} $;
有理数:$\{ -6,-\dfrac{2}{3},-|-3|,\dfrac{22}{7},-0.4,0,\sqrt{64},-\sqrt[3]{\dfrac{125}{64}},··· \} $;
无理数:$\{ \dfrac{π}{4},\sqrt{6},··· \} $.

例 3 下列各数中，哪些属于有理数集合，哪些属于无理数集合?
$\sqrt[3]{-27},0.\dot{2}1\dot{2},\frac{π}{5},|-5\frac{1}{2}|,\sqrt{\frac{5}{81}},\sqrt[3]{5},-\sqrt{25},3-\sqrt{2},0.010010001,0.05050050005···$(每两个 5 之间逐渐多 1 个 0).
【规范解答】有理数集合：{$\sqrt[3]{-27},0.\dot{2}1\dot{2},|-5\frac{1}{2}|,-\sqrt{25},0.010010001,···$}
无理数集合：{$\frac{π}{5},\sqrt{\frac{5}{81}},\sqrt[3]{5},3-\sqrt{2},0.05050050005···$(两个 5 之间逐渐多 1 个 0),$···$}

解：
先化简并判断各数：
$\sqrt[3]{-27}=-3$，是整数，属于有理数；
$0.\dot{2}1\dot{2}$是无限循环小数，属于有理数；
$\frac{π}{5}$是含π的无限不循环小数，属于无理数；
$|-5\frac{1}{2}|=5\frac{1}{2}$，是分数，属于有理数；
$\sqrt{\frac{5}{81}}=\frac{\sqrt{5}}{9}$，$\sqrt{5}$是开方开不尽的数，故该数属于无理数；
$\sqrt[3]{5}$是开立方开不尽的数，属于无理数；
$-\sqrt{25}=-5$，是整数，属于有理数；
$3-\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是无理数，故该数属于无理数；
$0.010010001$是有限小数，属于有理数；
$0.05050050005···$(每两个5之间逐渐多1个0)是无限不循环小数，属于无理数。
有理数集合：{$\sqrt[3]{-27},0.\dot{2}1\dot{2},|-5\frac{1}{2}|,-\sqrt{25},0.010010001$}
无理数集合：{$\frac{π}{5},\sqrt{\frac{5}{81}},\sqrt[3]{5},3-\sqrt{2},0.05050050005···$(每两个5之间逐渐多1个0)}

例 4 通过《实数》一章的学习，我们知道，$\sqrt{2}$是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即$\sqrt{2}$的整数部分是 1，小数部分是$\sqrt{2}-1$，请回答以下问题：
(1)$\sqrt{10}$的小数部分是，$\sqrt{17}-2$的小数部分是.
(2)已知 $a$ 是$\sqrt{90}$的整数部分，$b$ 是$\sqrt{3}$的小数部分，求 $a + b-\sqrt{3}$的立方根.
【规范解答】(1)因为 $3＜\sqrt{10}＜4$，所以$\sqrt{10}$的整数部分是 3，小数部分是$\sqrt{10}-3$.
因为 $4＜\sqrt{17}＜5$，所以 $2＜\sqrt{17}-2＜3$.
所以$\sqrt{17}-2$的整数部分是 2，小数部分是$\sqrt{17}-2-2=\sqrt{17}-4$.
故答案为$\sqrt{10}-3,\sqrt{17}-4$.
(2)因为 $9＜\sqrt{90}＜10$，所以 $a = 9$.
因为 $1＜\sqrt{3}＜2$，所以 $b=\sqrt{3}-1$.
所以 $a + b-\sqrt{3}=8$.
因为$\sqrt[3]{8}=2$，所以 $a + b-\sqrt{3}$的立方根为 2.

解：
(1)
因为$3＜\sqrt{10}＜4$，所以$\sqrt{10}$的整数部分是3，小数部分是$\sqrt{10}-3$。
因为$4＜\sqrt{17}＜5$，所以$2＜\sqrt{17}-2＜3$，
所以$\sqrt{17}-2$的整数部分是2，小数部分是$\sqrt{17}-2-2=\sqrt{17}-4$。
(2)
因为$9＜\sqrt{90}＜10$，所以$a=9$。
因为$1＜\sqrt{3}＜2$，所以$b=\sqrt{3}-1$。
则$a + b-\sqrt{3}=9+(\sqrt{3}-1)-\sqrt{3}=8$。
因为$\sqrt[3]{8}=2$，所以$a + b-\sqrt{3}$的立方根为2。