登录
19. （11 分）现有铁丝和铜丝各一捆（可以称出每捆的质量）. 已知铁丝和铜丝的截面半径分别为$r_1$cm 和$r_2$cm，请你设计一种方案，不用直接测量长度，就能计算这捆铁丝和这捆铜丝的长度差（注：铁的密度约为 8g/cm³，铜的密度约为 9g/cm³）.
答案
【解析】：1. 称出铁丝的质量为$m_1$g，铜丝的质量为$m_2$g；
2. 铁丝体积$V_1=\frac{m_1}{8}$cm³，铜丝体积$V_2=\frac{m_2}{9}$cm³；
3. 铁丝长度$L_1=\frac{V_1}{π r_1^2}=\frac{m_1}{8π r_1^2}$cm，铜丝长度$L_2=\frac{V_2}{π r_2^2}=\frac{m_2}{9π r_2^2}$cm；
4. 长度差$\Delta L=\left|\frac{m_1}{8π r_1^2}-\frac{m_2}{9π r_2^2}\right|$cm。
【答案】：按照上述方案计算可得长度差为$\left|\frac{m_1}{8π r_1^2}-\frac{m_2}{9π r_2^2}\right|$cm。
2. 铁丝体积$V_1=\frac{m_1}{8}$cm³，铜丝体积$V_2=\frac{m_2}{9}$cm³；
3. 铁丝长度$L_1=\frac{V_1}{π r_1^2}=\frac{m_1}{8π r_1^2}$cm，铜丝长度$L_2=\frac{V_2}{π r_2^2}=\frac{m_2}{9π r_2^2}$cm；
4. 长度差$\Delta L=\left|\frac{m_1}{8π r_1^2}-\frac{m_2}{9π r_2^2}\right|$cm。
【答案】：按照上述方案计算可得长度差为$\left|\frac{m_1}{8π r_1^2}-\frac{m_2}{9π r_2^2}\right|$cm。
解析
【解析】
1. 称出铁丝的质量为$m_1$g，铜丝的质量为$m_2$g；
2. 根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得铁丝体积$V_1=\frac{m_1}{8}$cm³，铜丝体积$V_2=\frac{m_2}{9}$cm³；
3. 金属丝可看作圆柱体，根据圆柱体积公式$V=SL=π r^2L$，可得铁丝长度$L_1=\frac{V_1}{π r_1^2}=\frac{m_1}{8π r_1^2}$cm，铜丝长度$L_2=\frac{V_2}{π r_2^2}=\frac{m_2}{9π r_2^2}$cm；
4. 计算两捆金属丝的长度差$\Delta L=\left|\frac{m_1}{8π r_1^2}-\frac{m_2}{9π r_2^2}\right|$cm。
【答案】
按照上述方案计算，两捆金属丝的长度差为$\left|\frac{m_1}{8π r_1^2}-\frac{m_2}{9π r_2^2}\right|$cm。
【知识点】
密度公式应用、圆柱体积计算
【点评】
该方案巧妙结合密度公式与圆柱体积公式，通过测量质量间接推导金属丝长度，规避直接测量长度的不便，考查了物理与数学知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
1. 称出铁丝的质量为$m_1$g，铜丝的质量为$m_2$g；
2. 根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得铁丝体积$V_1=\frac{m_1}{8}$cm³，铜丝体积$V_2=\frac{m_2}{9}$cm³；
3. 金属丝可看作圆柱体，根据圆柱体积公式$V=SL=π r^2L$，可得铁丝长度$L_1=\frac{V_1}{π r_1^2}=\frac{m_1}{8π r_1^2}$cm，铜丝长度$L_2=\frac{V_2}{π r_2^2}=\frac{m_2}{9π r_2^2}$cm；
4. 计算两捆金属丝的长度差$\Delta L=\left|\frac{m_1}{8π r_1^2}-\frac{m_2}{9π r_2^2}\right|$cm。
【答案】
按照上述方案计算，两捆金属丝的长度差为$\left|\frac{m_1}{8π r_1^2}-\frac{m_2}{9π r_2^2}\right|$cm。
【知识点】
密度公式应用、圆柱体积计算
【点评】
该方案巧妙结合密度公式与圆柱体积公式，通过测量质量间接推导金属丝长度，规避直接测量长度的不便，考查了物理与数学知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
20. （12 分）某地区需要 550 顶帐篷过冬. 现由甲、乙两个工厂生产这批帐篷. 已知甲工厂每天的生产能力是乙工厂的 1.5 倍，并且生产 240 顶帐篷甲工厂比乙工厂少用 4 天.
（1）甲、乙两个工厂每天分别生产多少顶帐篷？
（2）若甲工厂每天的生产成本为 3 万元，乙工厂每天的生产成本为 2.4 万元，要使这批帐篷的生产总成本不高于 60 万元，至少应安排甲工厂生产多少天？
（1）甲、乙两个工厂每天分别生产多少顶帐篷？
（2）若甲工厂每天的生产成本为 3 万元，乙工厂每天的生产成本为 2.4 万元，要使这批帐篷的生产总成本不高于 60 万元，至少应安排甲工厂生产多少天？
答案
(1) 设乙工厂每天可生产x顶帐篷，则甲工厂每天可生产1.5x顶帐篷. 根据题意，得$\frac{240}{x}-\frac{240}{1.5x}=4. $解得x = 20. 经检验x = 20是原方程的解，则甲工厂每天可生产$1.5\times20 = 30($顶)，所以甲、乙两个工厂每天分别可生产30顶和20顶帐篷(2) 设甲工厂生产y天，根据题意，得$3y+2.4\times\frac{550 - 30y}{20}\leq60. $解得$y\geq10. $所以至少应安排甲工厂生产10天
解析
【解析】
（1）设乙工厂每天生产$x$顶帐篷，则甲工厂每天生产$1.5x$顶帐篷。根据生产240顶帐篷甲工厂比乙工厂少用4天，可列方程：$\frac{240}{x}-\frac{240}{1.5x}=4$，解得$x=20$。经检验，$x=20$是原方程的解，那么甲工厂每天生产$1.5×20=30$顶帐篷。
（2）设安排甲工厂生产$y$天，则乙工厂生产的天数为$\frac{550-30y}{20}$天。根据生产总成本不高于60万元，可列不等式：$3y+2.4×\frac{550-30y}{20}≤60$，解得$y≥10$。
【答案】
（1）甲工厂每天生产30顶帐篷，乙工厂每天生产20顶帐篷；
（2）至少应安排甲工厂生产10天。
【知识点】
分式方程的应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合实际生产场景，考查分式方程与一元一次不等式的应用，解题关键是准确找出等量关系和不等关系，列出方程与不等式，注意分式方程需检验解的合理性。
【难度系数】
0.6
（1）设乙工厂每天生产$x$顶帐篷，则甲工厂每天生产$1.5x$顶帐篷。根据生产240顶帐篷甲工厂比乙工厂少用4天，可列方程：$\frac{240}{x}-\frac{240}{1.5x}=4$，解得$x=20$。经检验，$x=20$是原方程的解，那么甲工厂每天生产$1.5×20=30$顶帐篷。
（2）设安排甲工厂生产$y$天，则乙工厂生产的天数为$\frac{550-30y}{20}$天。根据生产总成本不高于60万元，可列不等式：$3y+2.4×\frac{550-30y}{20}≤60$，解得$y≥10$。
【答案】
（1）甲工厂每天生产30顶帐篷，乙工厂每天生产20顶帐篷；
（2）至少应安排甲工厂生产10天。
【知识点】
分式方程的应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合实际生产场景，考查分式方程与一元一次不等式的应用，解题关键是准确找出等量关系和不等关系，列出方程与不等式，注意分式方程需检验解的合理性。
【难度系数】
0.6
