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18. (12 分)【问题提出】
课堂上，老师提出问题：$3a ＞ b ＞ 0$，$M = \frac{a}{b}$，$N = \frac{a + 1}{b + 3}$，试比较$M$与$N$的大小.
小华：整式的大小比较可采用“作差法”.
老师：比较$x^2 + 1$与$2x - 1$的大小.
小华：$\because (x^2 + 1) - (2x - 1) = x^2 + 1 - 2x + 1 = (x - 1)^2 + 1 ＞ 0$，
$\therefore x^2 + 1 ＞ 2x - 1$.
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
……
【问题解决】
(1)请用“作差法”完成老师提出的问题.
【问题应用】
数学来源于生活，生活中处处有数学，我们用平时喝的糖水做“糖水试验”也能验证一些数学结论. 现有$a$g 糖水，其中含有$b$g 糖$(a ＞ b ＞ 0)$，则糖水的浓度(即糖与糖水的质量比)为$\frac{b}{a}$.
实验 1：加入$m$g 水，则糖水的浓度为$\frac{b}{a + m}$. 生活经验告诉我们，糖水加水后甜味会变淡，由此可以写出不等式$\frac{b}{a} ＞ \frac{b}{a + m}$，我们趣称为“糖水不等式”.
(2)实验 2：将“实验 1”中的“加入$m$g 水”改为“加入$m$g 糖”，则糖水的浓度发生了变化，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”
课堂上，老师提出问题：$3a ＞ b ＞ 0$，$M = \frac{a}{b}$，$N = \frac{a + 1}{b + 3}$，试比较$M$与$N$的大小.
小华：整式的大小比较可采用“作差法”.
老师：比较$x^2 + 1$与$2x - 1$的大小.
小华：$\because (x^2 + 1) - (2x - 1) = x^2 + 1 - 2x + 1 = (x - 1)^2 + 1 ＞ 0$，
$\therefore x^2 + 1 ＞ 2x - 1$.
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
……
【问题解决】
(1)请用“作差法”完成老师提出的问题.
【问题应用】
数学来源于生活，生活中处处有数学，我们用平时喝的糖水做“糖水试验”也能验证一些数学结论. 现有$a$g 糖水，其中含有$b$g 糖$(a ＞ b ＞ 0)$，则糖水的浓度(即糖与糖水的质量比)为$\frac{b}{a}$.
实验 1：加入$m$g 水，则糖水的浓度为$\frac{b}{a + m}$. 生活经验告诉我们，糖水加水后甜味会变淡，由此可以写出不等式$\frac{b}{a} ＞ \frac{b}{a + m}$，我们趣称为“糖水不等式”.
(2)实验 2：将“实验 1”中的“加入$m$g 水”改为“加入$m$g 糖”，则糖水的浓度发生了变化，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”
$\frac{b}{a} ＜ \frac{b + m}{a + m}$
，并验证你写的不等式的正确性.答案
18. (1) $M - N = \frac{a}{b} - \frac{a + 1}{b + 3} = \frac{a(b + 3)}{b(b + 3)} - \frac{b(a + 1)}{b(b + 3)} = \frac{ab + 3a - ab - b}{b(b + 3)} = \frac{3a - b}{b(b + 3)}$. $\because 3a ＞ b ＞ 0$，$\therefore 3a - b ＞ 0$，$b(b + 3) ＞ 0$，$\therefore \frac{3a - b}{b(b + 3)} ＞ 0$，$\therefore M ＞ N$ (2) $\frac{b}{a} ＜ \frac{b + m}{a + m}$. 加入$m\ \mathrm{g}$糖后，糖水浓度为$\frac{b + m}{a + m}$，$\frac{b + m}{a + m} - \frac{b}{a} = \frac{a(b + m) - b(a + m)}{a(a + m)} = \frac{m(a - b)}{a(a + m)}$. $\because a ＞ b ＞ 0$，$\therefore a - b ＞ 0$. 又$\because m ＞ 0$，$\therefore \frac{m(a - b)}{a(a + m)} ＞ 0$. $\therefore \frac{b + m}{a + m} - \frac{b}{a} ＞ 0$，$\therefore \frac{b}{a} ＜ \frac{b + m}{a + m}$
解析
【解析】
(1) 利用作差法计算$M-N$：
$\because M - N = \frac{a}{b} - \frac{a + 1}{b + 3} = \frac{a(b + 3)}{b(b + 3)} - \frac{b(a + 1)}{b(b + 3)} = \frac{ab + 3a - ab - b}{b(b + 3)} = \frac{3a - b}{b(b + 3)}$，
又$\because 3a ＞ b ＞ 0$，
$\therefore 3a - b ＞ 0$，$b(b + 3) ＞ 0$，
$\therefore \frac{3a - b}{b(b + 3)} ＞ 0$，
$\therefore M ＞ N$；
(2) 根据生活经验，加入糖后糖水变甜，可得不等式$\frac{b}{a} ＜ \frac{b + m}{a + m}$，验证如下：
$\frac{b + m}{a + m} - \frac{b}{a} = \frac{a(b + m) - b(a + m)}{a(a + m)} = \frac{m(a - b)}{a(a + m)}$，
$\because a ＞ b ＞ 0$，$m ＞ 0$，
$\therefore a - b ＞ 0$，$a(a + m) ＞ 0$，
$\therefore \frac{m(a - b)}{a(a + m)} ＞ 0$，
$\therefore \frac{b + m}{a + m} - \frac{b}{a} ＞ 0$，
$\therefore \frac{b}{a} ＜ \frac{b + m}{a + m}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{M ＞ N}$；
(2) $\boldsymbol{\frac{b}{a} ＜ \frac{b + m}{a + m}}$，验证过程见解析。
【知识点】
作差法比较大小、分式的加减运算、不等式的性质
【点评】
本题通过作差法实现整式与分式的大小比较，结合生活中的糖水问题，将数学知识与生活实际相结合，既考查了分式的运算能力，又考查了逻辑推理能力，有助于理解数学知识的实际应用价值。
【难度系数】
0.6
(1) 利用作差法计算$M-N$：
$\because M - N = \frac{a}{b} - \frac{a + 1}{b + 3} = \frac{a(b + 3)}{b(b + 3)} - \frac{b(a + 1)}{b(b + 3)} = \frac{ab + 3a - ab - b}{b(b + 3)} = \frac{3a - b}{b(b + 3)}$，
又$\because 3a ＞ b ＞ 0$，
$\therefore 3a - b ＞ 0$，$b(b + 3) ＞ 0$，
$\therefore \frac{3a - b}{b(b + 3)} ＞ 0$，
$\therefore M ＞ N$；
(2) 根据生活经验，加入糖后糖水变甜，可得不等式$\frac{b}{a} ＜ \frac{b + m}{a + m}$，验证如下：
$\frac{b + m}{a + m} - \frac{b}{a} = \frac{a(b + m) - b(a + m)}{a(a + m)} = \frac{m(a - b)}{a(a + m)}$，
$\because a ＞ b ＞ 0$，$m ＞ 0$，
$\therefore a - b ＞ 0$，$a(a + m) ＞ 0$，
$\therefore \frac{m(a - b)}{a(a + m)} ＞ 0$，
$\therefore \frac{b + m}{a + m} - \frac{b}{a} ＞ 0$，
$\therefore \frac{b}{a} ＜ \frac{b + m}{a + m}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{M ＞ N}$；
(2) $\boldsymbol{\frac{b}{a} ＜ \frac{b + m}{a + m}}$，验证过程见解析。
【知识点】
作差法比较大小、分式的加减运算、不等式的性质
【点评】
本题通过作差法实现整式与分式的大小比较，结合生活中的糖水问题，将数学知识与生活实际相结合，既考查了分式的运算能力，又考查了逻辑推理能力，有助于理解数学知识的实际应用价值。
【难度系数】
0.6
