例 1 如图 8.1.1，四边形 $ABCD$ 是平行四边形.
（1）当 $∠ A = 40°$ 时，求其余各内角的度数；
（2）当 $AD = 5$，周长为 $22$ 时，求其余三边的长.

解：
（1）∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$∠ A=∠ C$，$∠ B=∠ D$，$AD// BC$，
∴$∠ A+∠ B=180°$，
∵$∠ A=40°$，
∴$∠ C=40°$，
$∠ B=180°-∠ A=180°-40°=140°$，
∴$∠ D=∠ B=140°$；
（2）∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD=BC$，$AB=CD$，
∵$AD=5$，周长为$22$，
∴$BC=5$，
∵$AD+AB+BC+CD=22$，
∴$2×5+2AB=22$，
解得$AB=6$，
∴$CD=AB=6$。
答：（1）$∠ B=140°$，$∠ C=40°$，$∠ D=140°$；（2）$BC=5$，$AB=6$，$CD=6$。

例 2 如图 8.1.2，在 $□ ABCD$ 中，点 $M$，$N$ 分别在 $BC$，$AD$ 上，且 $AM // CN$，对角线 $BD$ 分别交 $AM$，$CN$ 于点 $E$，$F$. 求证：$BE = DF$.

证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$AD=BC$，$∠ EBM=∠ FDN$。
∵ $AM// CN$，
∴ 四边形$AMCN$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∴ $AN=CM$，
∴ $AD-AN=BC-CM$，即$DN=BM$。
在$△ BEM$和$△ DFN$中，
$\{\begin{array}{l}∠ EBM=∠ FDN \\BM=DN \\∠ BME=∠ DNF\end{array} $
（由$AD// BC$，$AM// CN$可得$∠ BME=∠ BAD$，$∠ DNF=∠ BAD$，故$∠ BME=∠ DNF$）
∴ $△ BEM≌△ DFN$（ASA），
∴ $BE=DF$。