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1. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，则下列结论不一定成立的是()
A.$BO=DO$
B.$CD=AB$
C.$∠ BAD=∠ BCD$
D.$AC=BD$
A.$BO=DO$
B.$CD=AB$
C.$∠ BAD=∠ BCD$
D.$AC=BD$
答案
D
解析
根据平行四边形的性质：
1. 平行四边形对角线互相平分，可得$BO=DO$，A结论成立；
2. 平行四边形对边相等，可得$CD=AB$，B结论成立；
3. 平行四边形对角相等，可得$∠BAD=∠BCD$，C结论成立；
4. 平行四边形的对角线不一定相等，仅矩形等特殊平行四边形的对角线相等，故$AC=BD$不一定成立。
1. 平行四边形对角线互相平分，可得$BO=DO$，A结论成立；
2. 平行四边形对边相等，可得$CD=AB$，B结论成立；
3. 平行四边形对角相等，可得$∠BAD=∠BCD$，C结论成立；
4. 平行四边形的对角线不一定相等，仅矩形等特殊平行四边形的对角线相等，故$AC=BD$不一定成立。
2. 如图，在$□ ABCD$中，$AB=5$，$BC=7$，$BE$平分$∠ ABC$，交$AD$于点$E$，$CF$平分$∠ BCD$，交$AD$于点$F$，则$EF$的长为()
A.$2$
B.$3$
C.$3.5$
D.$4$
A.$2$
B.$3$
C.$3.5$
D.$4$
答案
B
解析
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AB=CD=5，AD=BC=7。
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABE=∠EBC，
又∵ AD//BC，∴ ∠AEB=∠EBC，
∴ ∠ABE=∠AEB，故AE=AB=5。
同理，CF平分∠BCD，可得DF=CD=5。
∴ EF=AE+DF-AD=5+5-7=3。
∴ AD//BC，AB=CD=5，AD=BC=7。
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABE=∠EBC，
又∵ AD//BC，∴ ∠AEB=∠EBC，
∴ ∠ABE=∠AEB，故AE=AB=5。
同理，CF平分∠BCD，可得DF=CD=5。
∴ EF=AE+DF-AD=5+5-7=3。
3. 如图，在矩形$ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$∠ ABD=60°$，$AB=1$，则$BC$的长为()
A.$2$
B.$3$
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{5}$
A.$2$
B.$3$
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{5}$
答案
C
解析
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AC=BD，OA=OB。
∵∠ABD=60°，AB=1，∴△AOB是等边三角形，∴OB=AB=1，BD=2OB=2。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=√(BD²-AB²)=√(2²-1²)=√3。
∵矩形中BC=AD，∴BC=√3。
∵∠ABD=60°，AB=1，∴△AOB是等边三角形，∴OB=AB=1，BD=2OB=2。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=√(BD²-AB²)=√(2²-1²)=√3。
∵矩形中BC=AD，∴BC=√3。
4. 下列命题中，真命题是()
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线相等的四边形是矩形
D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线相等的四边形是矩形
D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形
答案
A
解析
根据特殊四边形的判定定理逐一分析：
选项A：对角线互相平分的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定定理，是真命题；
选项B：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，需同时满足互相平分才是菱形，是假命题；
选项C：对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形对角线相等但不是矩形，需同时满足互相平分才是矩形，是假命题；
选项D：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不是正方形，正方形还需对角线相等，是假命题。
综上，真命题是A。
选项A：对角线互相平分的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定定理，是真命题；
选项B：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，需同时满足互相平分才是菱形，是假命题；
选项C：对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形对角线相等但不是矩形，需同时满足互相平分才是矩形，是假命题；
选项D：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不是正方形，正方形还需对角线相等，是假命题。
综上，真命题是A。
5. 如图，在菱形$ABCD$中，$AB=4$，$E$是边$AD$上一点，将$△ CDE$沿$CE$折叠得到$△ CFE$，则$△ BCF$面积的最大值为()
A.$8$
B.$8\sqrt{3}$
C.$16$
D.$16\sqrt{2}$
A.$8$
B.$8\sqrt{3}$
C.$16$
D.$16\sqrt{2}$
答案
A
解析
1. 由菱形$ABCD$的性质可知，$BC=CD=4$；
2. 由折叠的性质得$CF=CD=4$，即点$F$在以$C$为圆心、$4$为半径的圆上；
3. $△ BCF$的面积$S=\frac{1}{2} · BC · CF · \sin∠ BCF$，代入$BC=4$，$CF=4$，得$S=8\sin∠ BCF$；
4. 当$\sin∠ BCF$取最大值$1$（即$∠ BCF=90°$）时，$S$的最大值为$8$。
2. 由折叠的性质得$CF=CD=4$，即点$F$在以$C$为圆心、$4$为半径的圆上；
3. $△ BCF$的面积$S=\frac{1}{2} · BC · CF · \sin∠ BCF$，代入$BC=4$，$CF=4$，得$S=8\sin∠ BCF$；
4. 当$\sin∠ BCF$取最大值$1$（即$∠ BCF=90°$）时，$S$的最大值为$8$。
6. 已知四边形$ABCD$为矩形，过点$A$，$C$作对角线$BD$的垂线，过点$B$，$D$作对角线$AC$的垂线.如果四条垂线段首尾相连拼成一个四边形，那么这个四边形为()
A.矩形
B.菱形
C.直角梯形
D.等腰梯形
A.矩形
B.菱形
C.直角梯形
D.等腰梯形
答案
B
解析
设矩形$ABCD$的对角线$AC$、$BD$交于点$O$，矩形对角线相等且互相平分，故$OA=OB=OC=OD$。
1. 过$A$、$C$作$BD$的垂线，过$B$、$D$作$AC$的垂线，同垂直于一条直线的两条直线平行，因此这四条垂线两两平行，围成的四边形是平行四边形。
2. 设$A$到$BD$的垂线垂足为$M$，$B$到$AC$的垂线垂足为$N$，在$△ AOM$和$△ BON$中，$∠ AMO=∠ BNO=90°$，$∠ AOM=∠ BON$，$OA=OB$，故$△ AOM≌△ BON$（AAS），得垂线段$AM=BN$。
3. 该平行四边形的邻边分别等于$AM$、$BN$，即邻边相等，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可知拼成的四边形为菱形。
1. 过$A$、$C$作$BD$的垂线，过$B$、$D$作$AC$的垂线，同垂直于一条直线的两条直线平行，因此这四条垂线两两平行，围成的四边形是平行四边形。
2. 设$A$到$BD$的垂线垂足为$M$，$B$到$AC$的垂线垂足为$N$，在$△ AOM$和$△ BON$中，$∠ AMO=∠ BNO=90°$，$∠ AOM=∠ BON$，$OA=OB$，故$△ AOM≌△ BON$（AAS），得垂线段$AM=BN$。
3. 该平行四边形的邻边分别等于$AM$、$BN$，即邻边相等，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可知拼成的四边形为菱形。
7. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$E$为$BC$的中点，$F$，$G$又分别是$OC$，$EC$的中点.若$FG=2$，则$CD$的长为.
答案
8
解析
1. 因为F、G分别是OC、EC的中点，所以FG是△OCE的中位线，由三角形中位线定理得：$FG=\frac{1}{2}OE$。已知$FG=2$，则$OE=2×2=4$。
2. 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$O$是$AC$的中点，又$E$是$BC$的中点，故$OE$是$△ ABC$的中位线，由三角形中位线定理得：$OE=\frac{1}{2}AB$。
3. 平行四边形中$AB=CD$，因此$CD=2OE=2×4=8$。
2. 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$O$是$AC$的中点，又$E$是$BC$的中点，故$OE$是$△ ABC$的中位线，由三角形中位线定理得：$OE=\frac{1}{2}AB$。
3. 平行四边形中$AB=CD$，因此$CD=2OE=2×4=8$。
8. 如图，正方形$ABCD$的面积为$4$，$E$，$F$，$G$，$H$分别为$AB$，$BC$，$CD$，$AD$的中点，则四边形$EFGH$的面积为.
答案
2
解析
1. 由正方形$ABCD$的面积为4，可得其边长为$\sqrt{4}=2$。
2. 因为$E$，$F$，$G$，$H$分别为$AB$，$BC$，$CD$，$AD$的中点，所以$AE=EB=BF=FC=CG=GD=DH=HA=1$。
3. 每个直角三角形（如$△ AEH$）的面积为$\frac{1}{2} × 1 × 1 = 0.5$，四个该类三角形的总面积为$4 × 0.5 = 2$。
4. 四边形$EFGH$的面积为正方形$ABCD$的面积减去四个三角形的面积，即$4 - 2 = 2$。
2. 因为$E$，$F$，$G$，$H$分别为$AB$，$BC$，$CD$，$AD$的中点，所以$AE=EB=BF=FC=CG=GD=DH=HA=1$。
3. 每个直角三角形（如$△ AEH$）的面积为$\frac{1}{2} × 1 × 1 = 0.5$，四个该类三角形的总面积为$4 × 0.5 = 2$。
4. 四边形$EFGH$的面积为正方形$ABCD$的面积减去四个三角形的面积，即$4 - 2 = 2$。
