10. (★★)如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB = AD$，$CB = CD$，对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，过点 $B$ 作 $BE// CD$ 交 $AC$ 于点 $E$。
(1) 求证：四边形 $BCDE$ 是菱形；
(2) 若 $AB = \sqrt{10}$，$E$ 为 $AC$ 的中点，当 $BC$ 的长为时，四边形 $BCDE$ 是正方形。

(1) 证明：
∵AB=AD，CB=CD，∴AC垂直平分BD，即AC⊥BD，BO=OD。
∵BE//CD，∴∠BEO=∠DCO。
在△BOE和△DOC中，
∠BEO=∠DCO，∠BOE=∠DOC=90°，BO=OD，
∴△BOE≌△DOC(AAS)，∴OE=OC，BE=CD。
∵CB=CD，∴BE=CB。
∵BO=OD，OE=OC，∴四边形BCDE是平行四边形。
∵BE=CB，∴平行四边形BCDE是菱形。
(2) √2

11. (★★)如图，在 $□ ABCD$ 中，下列结论错误的是【 】

A.当 $AB = BC$ 时，$□ ABCD$ 是菱形
B.当 $OA = OB$ 时，$□ ABCD$ 是矩形
C.当 $AC$ 平分 $∠BAD$ 时，$□ ABCD$ 是菱形
D.当 $AC = BD$ 时，$□ ABCD$ 是正方形

D

A 选项：当 $AB = BC$ 时，平行四边形 $ABCD$ 的一组邻边相等，根据菱形的定义，一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以该选项正确。
B 选项：当 $OA = OB$ 时，因为 $OA=\frac{1}{2}AC$，$OB = \frac{1}{2}BD$，所以 $AC = BD$，对角线相等的平行四边形是矩形，所以该选项正确。
C 选项：当 $AC$ 平分 $∠BAD$ 时，可证得 $AB = AD$，一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以该选项正确。
D 选项：当 $AC = BD$ 时，只能说明平行四边形 $ABCD$ 是矩形，不能得出是正方形，所以该选项错误。

12. (★★)如图，在 $□ ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$。小乐同学欲添加两个条件使得四边形 $ABCD$ 是正方形，现有三个条件可供选择：① $AC⊥BD$；② $AC = BD$；③ $∠ADC = 90^{\circ}$。则正确的组合可以是(填序号)。

①②（或①③）

要使平行四边形 $ABCD$ 成为正方形，需同时满足矩形和菱形的判定条件。
若选① $AC⊥BD$（菱形条件：对角线垂直的平行四边形是菱形）和② $AC=BD$（矩形条件：对角线相等的平行四边形是矩形），则平行四边形既是菱形又是矩形，即为正方形。
若选① $AC⊥BD$（菱形）和③ $∠ADC=90°$（矩形条件：有一个直角的平行四边形是矩形），菱形有一个直角即为正方形。
②和③均为矩形条件，仅能判定为矩形，不能判定为正方形。
故正确组合为①②或①③。

13. (★★)如图，已知菱形 $ABCD$，$E$，$F$ 是对角线 $BD$ 所在直线上的两点，且 $∠AED = 45^{\circ}$，$DF = BE = 3$，连接 $CE$，$AF$，$CF$，得四边形 $AECF$。
(1) 求证：四边形 $AECF$ 是正方形；
(2) 若 $BD = 4$，则菱形 $ABCD$ 的面积为。

(1) 证明：
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴$AC⊥BD$，$OA=OC$，$OB=OD$（$O$为$AC$与$BD$交点）。
∵$DF=BE=3$，$OB=OD$，
∴$OE=OB+BE=OD+DF=OF$，即$OE=OF$。
∵$OA=OC$，$OE=OF$，
∴四边形$AECF$是平行四边形。
∵$AC⊥BD$，
∴平行四边形$AECF$是菱形。
∵$∠AED=45°$，$AC⊥BD$，
∴$∠OAE=∠AED=45°$，
∴$OA=OE$，则$AC=2OA=2OE=EF$。
∵菱形$AECF$对角线相等，
∴四边形$AECF$是正方形。
(2) 20