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2. 如图，将$□ ABCD$沿对角线$BD$折叠，使点$A$落在点$E$处，交$BC$于点$F$，若$∠ABD = 48^{\circ}$，$∠CFD = 40^{\circ}$则$∠E$为(
A.$102^{\circ}$
B.$112^{\circ}$
C.$122^{\circ}$
D.$92^{\circ}$
B
)A.$102^{\circ}$
B.$112^{\circ}$
C.$122^{\circ}$
D.$92^{\circ}$
答案
2. B
3. 如图，平行四边形$ABCD$中，$AE$平分$∠BAD$，$AB = 3\mathrm{cm}$，$AD = 8\mathrm{cm}$，则$CE =$
5 cm
.答案
3. 5 cm
4. 直线$a // b$，夹在它们之间的一条线段$AB = 4\sqrt{3}$，$AB$与$a$间的夹角为$150^{\circ}$，则两平行线$a$，$b$的距离为
$ 2 \sqrt { 3 } $
.答案
4. $ 2 \sqrt { 3 } $
5. 如图，已知在$□ ABCD$中，$AB = 13$，$AD = 5$，$AC ⊥ BC$.求$S_{□ ABCD}$.
答案
5. 解:
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ BC=AD=5.
∵ AC⊥BC,
∴ △ABC 是直角三角形,
∴ $ A C = \sqrt { A B ^ { 2 } - B C ^ { 2 } } = \sqrt { 1 3 ^ { 2 } - 5 ^ { 2 } } = 1 2 $,
∴ $ S _ { □ A B C D } = B C · A C = 5 × 1 2 = 6 0 $.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ BC=AD=5.
∵ AC⊥BC,
∴ △ABC 是直角三角形,
∴ $ A C = \sqrt { A B ^ { 2 } - B C ^ { 2 } } = \sqrt { 1 3 ^ { 2 } - 5 ^ { 2 } } = 1 2 $,
∴ $ S _ { □ A B C D } = B C · A C = 5 × 1 2 = 6 0 $.
6. 如图，平行四边形的一条角平分线分对边为$3$和$4$两部分，求平行四边形的周长.
答案
6. 解:
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AD//BC,
∴ ∠DAE=∠AEB.
∵ ∠DAE=∠BAE,
∴ ∠BAE=∠BEA,
∴ AB=BE.
当 AB=BE=3 时, 平行四边形的周长为
AB+BC+CD+DA=3+7+3+7=20.
当 AB=BE=4 时, 平行四边形的周长为
AB+BC+CD+DA=4+7+4+7=22.
综上所述, 平行四边形的周长为 20 或 22.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AD//BC,
∴ ∠DAE=∠AEB.
∵ ∠DAE=∠BAE,
∴ ∠BAE=∠BEA,
∴ AB=BE.
当 AB=BE=3 时, 平行四边形的周长为
AB+BC+CD+DA=3+7+3+7=20.
当 AB=BE=4 时, 平行四边形的周长为
AB+BC+CD+DA=4+7+4+7=22.
综上所述, 平行四边形的周长为 20 或 22.
1. $□ ABCD$的周长为$32$，$5AB = 3BC$，则对角线$AC$的取值范围为
4＜AC＜16
.答案
1. 4＜AC＜16
2. 如图，在平行四边形$ABCD$中，$BD ⊥ AD$，$∠A = 45^{\circ}$，$E$，$F$分别是边$AB$，$CD$上的点，且$BE = DF$，连接$EF$交$BD$于点$O$.
(1)求证：$BO = DO$；
(2)若$EF ⊥ AB$，延长$EF$交$AD$的延长线于点$G$，当$FG = 1$时，求$AE$的长.
]
(1)求证：$BO = DO$；
(2)若$EF ⊥ AB$，延长$EF$交$AD$的延长线于点$G$，当$FG = 1$时，求$AE$的长.
]答案
2. (1)证明:
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ DC//AB,
∴ ∠OBE=∠ODF.
在△OBE 和△ODF 中, $ \{ \begin{array} { l } { ∠ O B E = ∠ O D F , } \\ { ∠ B O E = ∠ D O F , } \\ { B E = D F , } \end{array} $
∴ △OBE≌△ODF,
∴ BO=DO.
(2)解:EF⊥AB,AB//DC,
∴ ∠GEA=∠GFD=90°,
又∠A=45°,
∴ ∠G=45°,
∴ AE=GE.
∵ BD⊥AD,
∴ ∠ADB=∠GDO=90°.
∴ ∠GOD=∠G=45°,
∴ DG=DO,
∴ OF=FG=1.
由(1)可知△OBE≌△ODF,
∴ OE=OF=1,
∴ CE=OE+OF+FG=3,
∴ AE=GE=3.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ DC//AB,
∴ ∠OBE=∠ODF.
在△OBE 和△ODF 中, $ \{ \begin{array} { l } { ∠ O B E = ∠ O D F , } \\ { ∠ B O E = ∠ D O F , } \\ { B E = D F , } \end{array} $
∴ △OBE≌△ODF,
∴ BO=DO.
(2)解:EF⊥AB,AB//DC,
∴ ∠GEA=∠GFD=90°,
又∠A=45°,
∴ ∠G=45°,
∴ AE=GE.
∵ BD⊥AD,
∴ ∠ADB=∠GDO=90°.
∴ ∠GOD=∠G=45°,
∴ DG=DO,
∴ OF=FG=1.
由(1)可知△OBE≌△ODF,
∴ OE=OF=1,
∴ CE=OE+OF+FG=3,
∴ AE=GE=3.
