1. 已知$\frac{a}{b}= \frac{5}{2}$,则$\frac{b}{a-b}= $( )

A.$-\frac{2}{7}$
B.$\frac{2}{7}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$-\frac{2}{3}$

C

因为$\frac{a}{b} = \frac{5}{2}$，设$a = 5k$，$b = 2k$（$k \neq 0$）。
则$a - b = 5k - 2k = 3k$。
所以$\frac{b}{a - b} = \frac{2k}{3k} = \frac{2}{3}$。
C

2. 如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,且DE//BC,若AD= 2,BD= 3,DE= 2,则BC的长是( )


A.3
B.$\frac{9}{2}$
C.5
D.$\frac{15}{2}$

C

证明：
∵ $DE // BC$，
∴ $\triangle ADE \sim \triangle ABC$（平行线分线段成比例定理推论）。
∵ $AD = 2$，$BD = 3$，
∴ $AB = AD + BD = 2 + 3 = 5$。
∵ 相似三角形对应边成比例，
∴ $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}$，即 $\frac{2}{BC} = \frac{2}{5}$。
解得 $BC = 5$。
答案：C

3. 如图,E是□ABCD的边AB的延长线上一点,DE交BC于点F,则图中的相似三角形共有( )


A.1对
B.2对
C.3对
D.4对

C

证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AB// CD$。
1.
∵$AD// BC$，
∴$\triangle ADE\sim\triangle BFE$（两直线平行，同位角相等，对应角相等）。
2.
∵$AB// CD$，
∴$\triangle CDF\sim\triangle BEF$（两直线平行，内错角相等，对应角相等）。
3. 由1、2得$\triangle ADE\sim\triangle CDF$（相似三角形的传递性）。
综上，共有3对相似三角形。
答案：C

4. 如图,在△ABC中,点D,E为边AB的三等分点,AC//DG//EF,点F,G在边BC上,CE,DG相交于点H.若EF= 2,则DH的长为( )


A.1
B.2
C.3
D.4

C

证明：
∵点D,E为边AB的三等分点，
∴$BE=ED=DA=\frac{1}{3}AB$，$BD=\frac{2}{3}AB$。
∵$AC// DG// EF$，
∴$\triangle BEF\sim\triangle BAC$，$\triangle BDG\sim\triangle BAC$。
∴$\frac{EF}{AC}=\frac{BE}{BA}=\frac{1}{3}$，$\frac{DG}{AC}=\frac{BD}{BA}=\frac{2}{3}$。
∵$EF=2$，
∴$AC=6$，$DG=4$。
∵$AC// DG$，
∴$\triangle EHD\sim\triangle ECA$。
∴$\frac{DH}{AC}=\frac{ED}{EA}=\frac{1}{2}$。
∴$DH=\frac{1}{2}AC=3$。
结论：C

5. 如图,△ABC∽△AED,∠AED= 40°,∠A= 60°,则∠C= ______.

$80^{\circ }$

证明：
∵△ABC∽△AED，
∴∠C=∠AED，
∵∠AED=40°，
∴∠C=40°．
$40^{\circ }$

6. 如图,在两个直角三角形中,∠ACB= ∠ADC= 90°,AC= $\sqrt{6}$,AD= 2.当AB= ______时,△ABC与△ACD相似.

3或$3\sqrt{2}$

在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AC=$\sqrt{6}$，AD=2，
由勾股定理得：CD=$\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{(\sqrt{6})^{2}-2^{2}}=\sqrt{6-4}=\sqrt{2}$。
情况一：当△ABC∽△ACD时，
$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$，即$\frac{AB}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，
解得AB=3。
情况二：当△ABC∽△CAD时，
$\frac{AB}{CA}=\frac{AC}{CD}$，即$\frac{AB}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$，
解得AB=$3\sqrt{2}$。
综上，AB=3或$3\sqrt{2}$。

7. 如图,D是△ABC的边AB上的一点,BD= $\frac{4}{3}$,AB= 3,BC= 2.
(1)△BCD与△BAC相似吗？请说明理由.
(2)若CD= $\frac{5}{3}$,求AC的长.

解:
(1)$\triangle BCD\backsim \triangle BAC$.理由如下:
$\because BD=\frac{4}{3}$,$AB=3$,$BC=2$,
$\therefore \frac{BD}{BC}=\frac{\frac{4}{3}}{2}=\frac{2}{3}$,$\frac{BC}{BA}=\frac{2}{3}$,$\therefore \frac{BD}{BC}=\frac{BC}{BA}$.
又$\angle DBC=\angle CBA$,
$\therefore \triangle BCD\backsim \triangle BAC$.
(2)$\because \triangle BCD\backsim \triangle BAC$,
$\therefore \frac{CD}{AC}=\frac{BC}{BA}$,即$\frac{\frac{5}{3}}{AC}=\frac{2}{3}$,$\therefore AC=\frac{5}{2}$.