8. 如图,G是△ABC的重心,过点G作$EF // BC$,分别交AB,AC于点E,F,且$EF + BC = 7.2\ cm$,求BC的长.
]
]
答案
解:如图，连结AG并延长，交BC于点P.
∵G是△ABC的重心,
∴AG=2GP,
∴$\frac{AG}{AP}=\frac{2}{3}$.
∵EF过点G且EF//BC,
∴△AGF∽△APC,△AEF∽△ABC,
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{AG}{AP}=\frac{2}{3}$,
∴$\frac{EF}{BC}=\frac{AF}{AC}=\frac{2}{3}$.又
∵EF+BC=7.2cm,
∴$BC=\frac{3}{5}×7.2=4.32$(cm).
∵G是△ABC的重心,
∴AG=2GP,
∴$\frac{AG}{AP}=\frac{2}{3}$.
∵EF过点G且EF//BC,
∴△AGF∽△APC,△AEF∽△ABC,
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{AG}{AP}=\frac{2}{3}$,
∴$\frac{EF}{BC}=\frac{AF}{AC}=\frac{2}{3}$.又
∵EF+BC=7.2cm,
∴$BC=\frac{3}{5}×7.2=4.32$(cm).
9. 三边的长分别为3,4,5的△ABC,它的重心为$O_1$,外心为$O_2$,则$O_1O_2$的长是 ( )
A.$\frac{5}{2}$
B.$\frac{5}{4}$
C.$\frac{5}{6}$
D.$\frac{5}{3}$
A.$\frac{5}{2}$
B.$\frac{5}{4}$
C.$\frac{5}{6}$
D.$\frac{5}{3}$
答案
C
解析
以直角三角形ABC的直角顶点为原点，两直角边为坐标轴建立坐标系，设A(0,0),B(4,0),C(0,3)。
重心$O_1$坐标为$(\frac{0+4+0}{3},\frac{0+0+3}{3})=(\frac{4}{3},1)$。
外心$O_2$为斜边中点，坐标为$(\frac{0+4}{2},\frac{0+3}{2})=(2,\frac{3}{2})$。
$O_1O_2=\sqrt{(2-\frac{4}{3})^2+(\frac{3}{2}-1)^2}=\sqrt{(\frac{2}{3})^2+(\frac{1}{2})^2}=\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{25}{36}}=\frac{5}{6}$
C
重心$O_1$坐标为$(\frac{0+4+0}{3},\frac{0+0+3}{3})=(\frac{4}{3},1)$。
外心$O_2$为斜边中点，坐标为$(\frac{0+4}{2},\frac{0+3}{2})=(2,\frac{3}{2})$。
$O_1O_2=\sqrt{(2-\frac{4}{3})^2+(\frac{3}{2}-1)^2}=\sqrt{(\frac{2}{3})^2+(\frac{1}{2})^2}=\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{25}{36}}=\frac{5}{6}$
C
10. 如图,点G是△ABC的重心,$GE // AB$交BC于点E,$GF // AC$交BC于点F,若△GEF的周长是2,则△ABC的周长为______.
]
]
答案
6
解析
证明：连接AG并延长交BC于点D。
∵G是△ABC的重心，
∴AG=2GD，即$\frac{GD}{AD}=\frac{1}{3}$。
∵GE//AB，GF//AC，
∴△GED∽△ABD，△GFD∽△ACD，
∴$\frac{GE}{AB}=\frac{GD}{AD}=\frac{1}{3}$，$\frac{GF}{AC}=\frac{GD}{AD}=\frac{1}{3}$，$\frac{ED}{BD}=\frac{GD}{AD}=\frac{1}{3}$，$\frac{FD}{CD}=\frac{GD}{AD}=\frac{1}{3}$。
∴GE=$\frac{1}{3}$AB，GF=$\frac{1}{3}$AC，ED=$\frac{1}{3}$BD，FD=$\frac{1}{3}$CD。
∴EF=ED+FD=$\frac{1}{3}$(BD+CD)=$\frac{1}{3}$BC。
∵△GEF周长=GE+GF+EF=2，
∴$\frac{1}{3}$(AB+AC+BC)=2，
∴△ABC周长=AB+AC+BC=6。
6
∵G是△ABC的重心，
∴AG=2GD，即$\frac{GD}{AD}=\frac{1}{3}$。
∵GE//AB，GF//AC，
∴△GED∽△ABD，△GFD∽△ACD，
∴$\frac{GE}{AB}=\frac{GD}{AD}=\frac{1}{3}$，$\frac{GF}{AC}=\frac{GD}{AD}=\frac{1}{3}$，$\frac{ED}{BD}=\frac{GD}{AD}=\frac{1}{3}$，$\frac{FD}{CD}=\frac{GD}{AD}=\frac{1}{3}$。
∴GE=$\frac{1}{3}$AB，GF=$\frac{1}{3}$AC，ED=$\frac{1}{3}$BD，FD=$\frac{1}{3}$CD。
∴EF=ED+FD=$\frac{1}{3}$(BD+CD)=$\frac{1}{3}$BC。
∵△GEF周长=GE+GF+EF=2，
∴$\frac{1}{3}$(AB+AC+BC)=2，
∴△ABC周长=AB+AC+BC=6。
6
11. 如图,G是△ABC的重心,延长BG交AC于点D,延长CG交AB于点E,P,Q分别是△BCE和△BCD的重心,则$\frac{PQ}{BC}= $______.
]
]
答案
$\frac{1}{6}$
解析
证明：连接$DE$。
∵$G$是$\triangle ABC$的重心，
∴$D$，$E$分别是$AC$，$AB$的中点，
∴$DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC$。
设$\triangle ABC$的面积为$S$，以$BC$为x轴，$B$为原点建立坐标系，设$B(0,0)$，$C(c,0)$，$A(a,b)$。
则$D\left(\frac{a+c}{2},\frac{b}{2}\right)$，$E\left(\frac{a}{2},\frac{b}{2}\right)$。
$\triangle BCE$的重心$P$：$x_P=\frac{0+\frac{a}{2}+c}{3}=\frac{a+2c}{6}$，$y_P=\frac{0+\frac{b}{2}+0}{3}=\frac{b}{6}$。
$\triangle BCD$的重心$Q$：$x_Q=\frac{0+\frac{a+c}{2}+c}{3}=\frac{a+3c}{6}$，$y_Q=\frac{0+\frac{b}{2}+0}{3}=\frac{b}{6}$。
$PQ=\left|x_Q - x_P\right|=\left|\frac{a+3c}{6}-\frac{a+2c}{6}\right|=\frac{c}{6}$。
$BC=c$，
∴$\frac{PQ}{BC}=\frac{1}{6}$。
$\frac{1}{6}$
∵$G$是$\triangle ABC$的重心，
∴$D$，$E$分别是$AC$，$AB$的中点，
∴$DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC$。
设$\triangle ABC$的面积为$S$，以$BC$为x轴，$B$为原点建立坐标系，设$B(0,0)$，$C(c,0)$，$A(a,b)$。
则$D\left(\frac{a+c}{2},\frac{b}{2}\right)$，$E\left(\frac{a}{2},\frac{b}{2}\right)$。
$\triangle BCE$的重心$P$：$x_P=\frac{0+\frac{a}{2}+c}{3}=\frac{a+2c}{6}$，$y_P=\frac{0+\frac{b}{2}+0}{3}=\frac{b}{6}$。
$\triangle BCD$的重心$Q$：$x_Q=\frac{0+\frac{a+c}{2}+c}{3}=\frac{a+3c}{6}$，$y_Q=\frac{0+\frac{b}{2}+0}{3}=\frac{b}{6}$。
$PQ=\left|x_Q - x_P\right|=\left|\frac{a+3c}{6}-\frac{a+2c}{6}\right|=\frac{c}{6}$。
$BC=c$，
∴$\frac{PQ}{BC}=\frac{1}{6}$。
$\frac{1}{6}$
12. 如图,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,$AG \perp BC$于点G,$AF \perp DE$于点F,$\angle EAF = \angle GAC$.
(1)求证：$\triangle ADE \backsim \triangle ABC$.
(2)若$AD= 3,AB= 5$,求$\frac{AF}{AG}$的值.
]
(1)求证：$\triangle ADE \backsim \triangle ABC$.
(2)若$AD= 3,AB= 5$,求$\frac{AF}{AG}$的值.
]
答案
(1)证明:
∵AG⊥BC,AF⊥DE,
∴∠AFE=∠AGC=90°.
∵∠EAF=∠GAC,
∴∠AED=∠ACB.
∵∠EAD=∠CAB,
∴△ADE∽△ABC.
(2)由
(1)可知,△ADE∽△ABC,
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{3}{5}$.又
∵∠AFE=∠AGC=90°,∠EAF=∠GAC,
∴△EAF∽△CAG,
∴$\frac{AF}{AG}=\frac{AE}{AC}$,
∴$\frac{AF}{AG}=\frac{3}{5}$.
