1. 如图,在$\odot O$中,$OA= 2$,$\angle C= 45°$,则图中阴影部分的面积为( )


A.$\frac{\pi}{2}-\sqrt{2}$
B.$\pi-\sqrt{2}$
C.$\frac{\pi}{2}-2$
D.$\pi-2$

D

解：
∵∠C=45°，
∴∠AOB=2∠C=90°（同弧所对的圆心角是圆周角的两倍）。
∵OA=2，
∴扇形AOB的面积为$\frac{90\pi×2^2}{360}=\pi$。
在Rt△AOB中，OA=OB=2，
∴△AOB的面积为$\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×2×2=2$。
∴阴影部分的面积为扇形AOB的面积减去△AOB的面积，即$\pi - 2$。
答案：D

2. 如图,AB是$\odot O$的直径,弦$CD\perp AB$,垂足为点M,连结OC,DB.如果$OC// DB$,$OC= 2\sqrt{3}$,那么图中阴影部分的面积是( )


A.$\pi$
B.$2\pi$
C.$3\pi$
D.$4\pi$

B

解：
∵AB是$\odot O$的直径，$CD\perp AB$，
∴CM=DM，$\angle OMC=90°$。
∵$OC// DB$，
∴$\angle OCM=\angle BDM$。
在$\triangle OCM$和$\triangle BDM$中，
$\left\{\begin{array}{l} \angle OCM=\angle BDM \\ CM=DM \\ \angle OMC=\angle BMD \end{array}\right.$，
∴$\triangle OCM \cong \triangle BDM(ASA)$，
∴$S_{\triangle OCM}=S_{\triangle BDM}$，
∴阴影部分面积$=S_{扇形OBC}$。
∵$OC=OB=2\sqrt{3}$，设$\angle COB=\theta$，
在$Rt\triangle OCM$中，$OM=OC\cos\theta=2\sqrt{3}\cos\theta$，
$CM=OC\sin\theta=2\sqrt{3}\sin\theta$，
∵$BM=OB-OM=2\sqrt{3}-2\sqrt{3}\cos\theta$，
又$BD=2CM=4\sqrt{3}\sin\theta$（$M$为$CD$中点，$OC// DB$），
在$Rt\triangle BDM$中，$BD^2=BM^2+DM^2$，
即$(4\sqrt{3}\sin\theta)^2=(2\sqrt{3}-2\sqrt{3}\cos\theta)^2+(2\sqrt{3}\sin\theta)^2$，
化简得：$48\sin^2\theta=12(1-\cos\theta)^2+12\sin^2\theta$，
$4\sin^2\theta=(1-\cos\theta)^2+\sin^2\theta$，
$4(1-\cos^2\theta)=1-2\cos\theta+\cos^2\theta+1-\cos^2\theta$，
$4-4\cos^2\theta=2-2\cos\theta$，
$4\cos^2\theta-2\cos\theta-2=0$，
$2\cos^2\theta-\cos\theta-1=0$，
解得$\cos\theta=1$（舍）或$\cos\theta=-\frac{1}{2}$，
∴$\theta=120°=\frac{2\pi}{3}$，
∴$S_{扇形OBC}=\frac{1}{2}\theta r^2=\frac{1}{2}×\frac{2\pi}{3}×(2\sqrt{3})^2=2\pi$。
答案：B

3. 如图,正方形的边长为a,以正方形边长为半径向外作四分之一圆,则阴影部分的面积可表示为______.(结果保留$\pi$)

$\frac {1}{4}\pi a^{2}$

4. 如图,正方形ABCD的边长为6,它的中心为O,$\odot O$的半径为2.$OE\perp OF$于O,点E,F分别在AB,AD上,则图中阴影部分的面积为______.(结果保留$\pi$)

$9-\pi$

连接OA。
∵正方形ABCD边长为6，O为中心，
∴OA平分∠BAD，OA=$\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6\sqrt{2}=3\sqrt{2}$，点O到AB、AD的距离均为3。
∵OE⊥OF，∠EOF=90°，∠BAD=90°，
∴四边形AEOF中∠AEO+∠AFO=180°，将△OAF绕点O顺时针旋转90°，F与E'重合，E'在AB上，且△OAE'≌△OAE，
∴S_{△OAE}+S_{△OAF}=S_{△OAA'}=S_{△OAB}（A'为旋转后A的对应点，落在AB延长线上，实际S_{四边形AEOF}=S_{△OAB}）。
S_{△OAB}=$\frac{1}{4}S_{正方形ABCD}=\frac{1}{4}×6^2=9$。
阴影部分面积=S_{四边形AEOF}-S_{扇形EOF}=9-\frac{90°}{360°}×\pi×2^2=9-\pi。
$9-\pi$

5. 如图,从一张圆心角为$45°$的扇形纸板剪出一个边长为1的正方形CDEF,则图中阴影部分的面积为______.

$\frac {5}{8}\pi -\frac {3}{2}$【解析】连结 OF，$\because \angle AOD=45^{\circ }$,四边形 CDEF 是正方形，$\therefore CD=DE=EF,\angle OEF=\angle CDE=\angle CDO=90^{\circ },$$\therefore OD=CD=DE=EF.$在$Rt\triangle OFE$中,$OE=2EF=2,$$EF^{2}+OE^{2}=OF^{2},$$\therefore OF=\sqrt {OE^{2}+EF^{2}}=\sqrt {5},$$\therefore S_{阴影}=S_{扇形AOB}-S_{\triangle ODF}-S_{正方形CDEF}=\frac {45\pi \cdot (\sqrt {5})^{2}}{360}-\frac {1}{2}× 1× 1-1× 1=\frac {5}{8}\pi -\frac {3}{2}.$

6. 如图,圆心角都是$90°$的扇形AOB与扇形COD叠放在一起,连结AC,BD.
(1)求证:$AC= BD$.
(2)若图中阴影部分的面积是$\frac{3}{4}\pi\ cm^2$,$OA= 2\ cm$,求OC的长.

(1)证明:$\because \angle AOB=\angle COD=90^{\circ },$$\therefore \angle AOC+\angle AOD=\angle BOD+\angle AOD,$$\therefore \angle AOC=\angle BOD.$在$\triangle AOC$和$\triangle BOD$中,$\left\{\begin{array}{l} OA=OB\\ \angle AOC=\angle BOD\\ CO=DO\end{array}\right. $$\therefore \triangle AOC\cong \triangle BOD(SAS),\therefore AC=BD.$
(2)根据题意得,$S_{阴影}=S_{扇形AOB}+S_{\triangle AOC}-S_{扇形COD}-S_{\triangle BOD}=S_{扇形AOB}-S_{扇形COD}=\frac {90\pi \cdot OA^{2}}{360}-\frac {90\pi \cdot OC^{2}}{360}=\frac {90\pi \cdot (OA^{2}-OC^{2})}{360},$$\therefore \frac {3}{4}\pi =\frac {90\pi × (2^{2}-OC^{2})}{360}$,解得$OC=1$(负值舍去).