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3. 如图，在$△ ABC$中，$∠ B = 90^{\circ}$，$P$为斜边$AC$上一点.
(1) 将$△ ABC$沿射线$AC$平移，使点$A$与点$P$重合，画出平移后的$△ PEF$（点$B$，$C$的对应点分别是$E$，$F$）.
(2) 设$PE$与$BC$交于点$O$，若四边形$ABOP$的面积是$22$，则四边形$COEF$的面积是多少？
(3) 已知$OB = 3$，$OE = 2$，$BC = a$，四边形$ABOP$的面积是$S$，请用含$a$的代数式表示四边形$ABOP$的面积.
(1) 将$△ ABC$沿射线$AC$平移，使点$A$与点$P$重合，画出平移后的$△ PEF$（点$B$，$C$的对应点分别是$E$，$F$）.
(2) 设$PE$与$BC$交于点$O$，若四边形$ABOP$的面积是$22$，则四边形$COEF$的面积是多少？
(3) 已知$OB = 3$，$OE = 2$，$BC = a$，四边形$ABOP$的面积是$S$，请用含$a$的代数式表示四边形$ABOP$的面积.
答案
(1) 图略（过点P作PE//AB且PE=AB，作PF//AC且PF=AC，连接EF）。
(2) 22
(3) $ S = 2a - 3 $
(2) 22
(3) $ S = 2a - 3 $
解析
【分析】
(1) 平移的关键是确定对应点的位置，平移前后对应线段平行且相等，平移向量为$\overrightarrow{AP}$，因此过点P作与AB平行且相等的线段PE确定点E，再作与AC平行且相等的线段PF确定点F，连接EF即可得到平移后的三角形。
(2) 根据平移的性质，平移前后三角形面积相等，两个三角形减去公共部分$△ POC$的面积，剩余的四边形ABOP和四边形COEF面积相等，由此可直接得出面积。
(3) 由平移性质可知EF//BC、PE//AB，结合$∠ B=90°$可得PE⊥BC，四边形COEF是直角梯形，先求出OC的长度，再利用梯形面积公式计算出四边形COEF的面积，结合(2)的面积相等关系即可得到四边形ABOP的面积表达式。
【解析】
(1) 画图步骤：
① 过点P作$PE// AB$，且$PE=AB$；
② 在射线AC上截取$PF=AC$，确定点F；
③ 连接EF，则$△ PEF$即为平移后的图形（图略）。
(2) 解：
$\because △ ABC$沿射线AC平移得到$△ PEF$，
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ PEF}$。
又$\because S_{△ ABC}=S_{四边形ABOP}+S_{△ POC}$，$S_{△ PEF}=S_{四边形COEF}+S_{△ POC}$，
$\therefore S_{四边形ABOP}=S_{四边形COEF}$。
已知$S_{四边形ABOP}=22$，
$\therefore S_{四边形COEF}=22$。
(3) 解：
由平移的性质得：$EF// BC$，$PE// AB$，$EF=BC=a$，$∠ PEF=∠ B=90°$。
$\because PE// AB$，$∠ B=90°$，
$\therefore PE⊥ BC$，即$∠ EOC=90°$。
$\because OC=BC-OB=a-3$，
$\therefore$ 四边形COEF是直角梯形，根据梯形面积公式：
$S_{四边形COEF}=\frac{1}{2}(OC+EF)· OE=\frac{1}{2}[(a-3)+a]×2=2a-3$。
由(2)知$S_{四边形ABOP}=S_{四边形COEF}$，
$\therefore S=2a-3$。
【答案】
(1) 图略；
(2) $\boldsymbol{22}$；
(3) $\boldsymbol{S=2a-3}$
【知识点】
1. 图形的平移性质；
2. 梯形面积公式；
3. 图形面积的转化
【点评】
本题围绕图形平移的性质展开，平移前后图形全等、对应线段平行且相等的性质是解题核心，通过面积转化将未知四边形面积与已知条件建立联系，同时考查了直角梯形的面积计算，需要熟练掌握平移性质和基本图形的面积计算方法。
【难度系数】
0.6
(1) 平移的关键是确定对应点的位置，平移前后对应线段平行且相等，平移向量为$\overrightarrow{AP}$，因此过点P作与AB平行且相等的线段PE确定点E，再作与AC平行且相等的线段PF确定点F，连接EF即可得到平移后的三角形。
(2) 根据平移的性质，平移前后三角形面积相等，两个三角形减去公共部分$△ POC$的面积，剩余的四边形ABOP和四边形COEF面积相等，由此可直接得出面积。
(3) 由平移性质可知EF//BC、PE//AB，结合$∠ B=90°$可得PE⊥BC，四边形COEF是直角梯形，先求出OC的长度，再利用梯形面积公式计算出四边形COEF的面积，结合(2)的面积相等关系即可得到四边形ABOP的面积表达式。
【解析】
(1) 画图步骤：
① 过点P作$PE// AB$，且$PE=AB$；
② 在射线AC上截取$PF=AC$，确定点F；
③ 连接EF，则$△ PEF$即为平移后的图形（图略）。
(2) 解：
$\because △ ABC$沿射线AC平移得到$△ PEF$，
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ PEF}$。
又$\because S_{△ ABC}=S_{四边形ABOP}+S_{△ POC}$，$S_{△ PEF}=S_{四边形COEF}+S_{△ POC}$，
$\therefore S_{四边形ABOP}=S_{四边形COEF}$。
已知$S_{四边形ABOP}=22$，
$\therefore S_{四边形COEF}=22$。
(3) 解：
由平移的性质得：$EF// BC$，$PE// AB$，$EF=BC=a$，$∠ PEF=∠ B=90°$。
$\because PE// AB$，$∠ B=90°$，
$\therefore PE⊥ BC$，即$∠ EOC=90°$。
$\because OC=BC-OB=a-3$，
$\therefore$ 四边形COEF是直角梯形，根据梯形面积公式：
$S_{四边形COEF}=\frac{1}{2}(OC+EF)· OE=\frac{1}{2}[(a-3)+a]×2=2a-3$。
由(2)知$S_{四边形ABOP}=S_{四边形COEF}$，
$\therefore S=2a-3$。
【答案】
(1) 图略；
(2) $\boldsymbol{22}$；
(3) $\boldsymbol{S=2a-3}$
【知识点】
1. 图形的平移性质；
2. 梯形面积公式；
3. 图形面积的转化
【点评】
本题围绕图形平移的性质展开，平移前后图形全等、对应线段平行且相等的性质是解题核心，通过面积转化将未知四边形面积与已知条件建立联系，同时考查了直角梯形的面积计算，需要熟练掌握平移性质和基本图形的面积计算方法。
【难度系数】
0.6
4. 如图，在六边形$ABCDEF$中，$AB // DE$，$AF // CD$，$BC // EF$，$AB = DE$，$AF = CD$，$BC = EF$，连接$FD$，$BD$，$FD ⊥ BD$，垂足为$D$. 已知$BD = 18$，$FD = 24$. 试求六边形$ABCDEF$的面积.
答案
432
解析
连接FD、BD，已知FD⊥BD，BD=18，FD=24。
由于AB//DE且AB=DE，AF//CD且AF=CD，BC//EF且BC=EF，根据平移性质，可将六边形ABCDEF通过平移转化为以BD和FD为邻边的矩形。
该矩形面积为BD×FD=18×24=432。
故六边形ABCDEF的面积为432。
由于AB//DE且AB=DE，AF//CD且AF=CD，BC//EF且BC=EF，根据平移性质，可将六边形ABCDEF通过平移转化为以BD和FD为邻边的矩形。
该矩形面积为BD×FD=18×24=432。
故六边形ABCDEF的面积为432。
5. 如图，$A$，$B$两个村庄之间有一条河，假设河的宽度一定. 现准备在河面上修建一座桥（桥与河岸垂直），这座桥修建在何处才能使$A$村到$B$村的路线距离最短？
答案
1. 过点A作河岸的垂线，在垂线上截取AA'，使AA'的长度等于河的宽度（A'在A的下方）；
2. 连接A'B，交河的下河岸于点N；
3. 过点N作河岸的垂线，交河的上河岸于点M；
4. 则MN为所求的桥的位置。此时A村到B村的路线AM+MN+NB距离最短。
2. 连接A'B，交河的下河岸于点N；
3. 过点N作河岸的垂线，交河的上河岸于点M；
4. 则MN为所求的桥的位置。此时A村到B村的路线AM+MN+NB距离最短。
解析
【分析】
要解决这个问题，核心在于河宽固定（桥的长度固定），我们可以通过平移将折线路径转化为直线路径，利用“两点之间线段最短”来找到最短路线。思路如下：由于桥与河岸垂直，$MN$的长度等于河宽且固定，所以$A$到$B$的总路程为$AM+MN+NB$，要让总路程最短，只需让$AM+NB$最短。通过平移$A$点，使平移距离等于河宽，将$AM$转化为$A'N$，此时$AM+NB$就转化为$A'N+NB$，当$A'$、$N$、$B$三点共线时，$A'N+NB$最短，进而确定桥的位置。
【解析】
具体步骤如下：
1. 过点$A$作河岸的垂线，在垂线上截取$AA'$，使$AA'$的长度等于河的宽度（$A'$在$A$的下方）；
2. 连接$A'B$，交河的下河岸于点$N$；
3. 过点$N$作河岸的垂线，交河的上河岸于点$M$；
4. 则$MN$为所求的桥的位置，此时$A$村到$B$村的路线$AM+MN+NB$距离最短。
【答案】
桥修建在$MN$处（按上述步骤确定的位置），能使$A$村到$B$村的路线距离最短。
【知识点】
平移的应用，两点之间线段最短
【点评】
本题是平移变换在实际生活中的典型应用，通过平移将折线最短路径问题转化为直线最短问题，充分运用了“两点之间线段最短”的几何原理，体现了转化的数学思想，需要学生灵活运用几何知识解决实际问题。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，核心在于河宽固定（桥的长度固定），我们可以通过平移将折线路径转化为直线路径，利用“两点之间线段最短”来找到最短路线。思路如下：由于桥与河岸垂直，$MN$的长度等于河宽且固定，所以$A$到$B$的总路程为$AM+MN+NB$，要让总路程最短，只需让$AM+NB$最短。通过平移$A$点，使平移距离等于河宽，将$AM$转化为$A'N$，此时$AM+NB$就转化为$A'N+NB$，当$A'$、$N$、$B$三点共线时，$A'N+NB$最短，进而确定桥的位置。
【解析】
具体步骤如下：
1. 过点$A$作河岸的垂线，在垂线上截取$AA'$，使$AA'$的长度等于河的宽度（$A'$在$A$的下方）；
2. 连接$A'B$，交河的下河岸于点$N$；
3. 过点$N$作河岸的垂线，交河的上河岸于点$M$；
4. 则$MN$为所求的桥的位置，此时$A$村到$B$村的路线$AM+MN+NB$距离最短。
【答案】
桥修建在$MN$处（按上述步骤确定的位置），能使$A$村到$B$村的路线距离最短。
【知识点】
平移的应用，两点之间线段最短
【点评】
本题是平移变换在实际生活中的典型应用，通过平移将折线最短路径问题转化为直线最短问题，充分运用了“两点之间线段最短”的几何原理，体现了转化的数学思想，需要学生灵活运用几何知识解决实际问题。
【难度系数】
0.5
