【例 1】如图,在$△ ABC$中,$D,E,F$分别为边$AC,BD,CE$的中点.若阴影部分的面积为$4\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$,则$△ ABC$的面积为 ()

A.$8\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$
B.$12\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$
C.$16\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$
D.$18\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

【例 1】C

1. 新考向 开放性问题 已知三角形的两边长分别为$4$和$6$,若它的第三边长为偶数,则这个三角形第三条边的长是(写出一个即可).

1. 4 或 6 或 8

2. 如图,在$△ ABC$中,$AD$是边$BC$上的中线,$E$是$AD$的中点,过点$E$作垂线交$BC$于点$F$,已知$BC=10$,$△ ABD$的面积为$12$,则$EF$的长为 ()

A.$1.2$
B.$2.4$
C.$3.6$
D.$4.8$

2. B

3. 如图,在$\mathrm{R}\mathrm{t}△ ABC$中,$∠ BAC=90^{\circ }$,边$BC$上有$E,D,F$三点,$BD=CD$,$∠ BAE=∠ DAE$,$AF⊥ BC$,垂足为$F$.
(1)以$AD$为中线的三角形是,以$AE$为角平分线的三角形是,以$AF$为高线的钝角三角形有个.
(2)若$∠ B=35^{\circ }$,求$∠ CAF$的度数.

3. 解:(1)$△ABC$ $△ABD$ 3 (2)在$Rt△ABC$中,$∠BAC=90^{\circ },∠B=35^{\circ },\therefore ∠C=90^{\circ }-35^{\circ }=55^{\circ }.\because AF⊥BC,\therefore ∠CAF=90^{\circ }-55^{\circ }=35^{\circ }$.

【例 2】如图,在$\mathrm{R}\mathrm{t}△ ABC$中,$∠ ACB=90^{\circ }$,$∠ A=50^{\circ }$,$D$为$AB$上一点,过点$D$作$DE// AC$.若$CD$平分$∠ ADE$,则$∠ BCD$的度数为 ()


A.$20^{\circ }$
B.$25^{\circ }$
C.$30^{\circ }$
D.$35^{\circ }$

【例 2】B

4. 如图,将一张三角形纸片$ABC$的一角折叠,使点$A$落在$△ ABC$外的点$A'$处,折痕为$DE$.已知$∠ BDA'=110^{\circ }$,$∠ C=70^{\circ }$,$∠ B=80^{\circ }$,求$∠ CEA'$的度数.

4. 解:在$△ABC$中,$∠A=180^{\circ }-∠B-∠C=180^{\circ }-80^{\circ }-70^{\circ }=30^{\circ }$. 由折叠的性质,知$∠A=∠A'=30^{\circ },∠ADE=∠A'$
DE,$∠AED=∠A'ED.\because ∠BDA'=110^{\circ },\therefore ∠ADA'=180^{\circ }-110^{\circ }=70^{\circ }.\therefore ∠ADE=∠A'DE=35^{\circ }.\therefore ∠A'ED=∠AED=180^{\circ }-30^{\circ }-35^{\circ }=115^{\circ }.\therefore ∠DEF=180^{\circ }-∠AED=65^{\circ }.\therefore ∠CEA'=∠A'ED-∠DEF=50^{\circ }$.