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8. 小聪同学解分式方程 $\dfrac{2x + 5}{x - 3}-1=\dfrac{x - 2}{3 - x}$ 的过程如下，请指出最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程.
解：去分母，得 $ 2x + 5 - 1=2 - x $，①
移项，得 $ 2x + x=2 - 5 + 1 $，②
合并同类项，得 $ 3x=-2 $，③
系数化为 1，得 $ x=-\dfrac{2}{3} $.④
解：去分母，得 $ 2x + 5 - 1=2 - x $，①
移项，得 $ 2x + x=2 - 5 + 1 $，②
合并同类项，得 $ 3x=-2 $，③
系数化为 1，得 $ x=-\dfrac{2}{3} $.④
答案
8. 解：错在第①步。
正确的解答过程：去分母，得 $2x + 5 - x + 3 = 2 - x$，
移项、合并同类项，得 $2x = -6$，
解得 $x = -3$。
经检验，$x = -3$ 是原方程的根。
正确的解答过程：去分母，得 $2x + 5 - x + 3 = 2 - x$，
移项、合并同类项，得 $2x = -6$，
解得 $x = -3$。
经检验，$x = -3$ 是原方程的根。
解析
【解析】
最早出现错误的步骤是①。
正确解答过程：
去分母，得$2x + 5 - (x - 3) = -(x - 2)$，即$2x + 5 - x + 3 = 2 - x$；
移项、合并同类项，得$2x = -6$；
解得$x = -3$；
经检验，$x = -3$是原方程的根。
【答案】
最早出现错误的步骤序号是①；原分式方程的解为$\boldsymbol{x=-3}$。
【知识点】
分式方程的解法、分式方程的检验
【点评】
解分式方程时，去分母要给每一项乘最简公分母，注意符号变化，解后必须检验，排除增根。
【难度系数】
0.6
最早出现错误的步骤是①。
正确解答过程：
去分母，得$2x + 5 - (x - 3) = -(x - 2)$，即$2x + 5 - x + 3 = 2 - x$；
移项、合并同类项，得$2x = -6$；
解得$x = -3$；
经检验，$x = -3$是原方程的根。
【答案】
最早出现错误的步骤序号是①；原分式方程的解为$\boldsymbol{x=-3}$。
【知识点】
分式方程的解法、分式方程的检验
【点评】
解分式方程时，去分母要给每一项乘最简公分母，注意符号变化，解后必须检验，排除增根。
【难度系数】
0.6
9. 我们知道方程 $\dfrac{x + 2}{x}+\dfrac{3}{x - 2}=1$ 的解是 $ x=\dfrac{4}{5} $. 现给出另一个方程 $\dfrac{(y + 1)+2}{y + 1}+\dfrac{3}{(y + 1)-2}=1$，它的解是
$-\frac{1}{5}$
.答案
9. $-\frac{1}{5}$
解析
【解析】
观察两个方程的结构，令$ t = y + 1 $，则第二个方程可转化为$\dfrac{t + 2}{t}+\dfrac{3}{t - 2}=1$，该方程与已知解的方程形式一致，已知其解为$ t=\dfrac{4}{5} $。
即$ y + 1=\dfrac{4}{5} $，解得$ y=\dfrac{4}{5}-1=-\dfrac{1}{5} $。
【答案】
$ -\dfrac{1}{5} $
【知识点】
换元法解分式方程
【点评】
本题利用换元法将待求解方程转化为已知解的方程，运用转化思想简化计算，关键是识别两个方程的结构相似性。
【难度系数】
0.7
观察两个方程的结构，令$ t = y + 1 $，则第二个方程可转化为$\dfrac{t + 2}{t}+\dfrac{3}{t - 2}=1$，该方程与已知解的方程形式一致，已知其解为$ t=\dfrac{4}{5} $。
即$ y + 1=\dfrac{4}{5} $，解得$ y=\dfrac{4}{5}-1=-\dfrac{1}{5} $。
【答案】
$ -\dfrac{1}{5} $
【知识点】
换元法解分式方程
【点评】
本题利用换元法将待求解方程转化为已知解的方程，运用转化思想简化计算，关键是识别两个方程的结构相似性。
【难度系数】
0.7
10. 若关于 $ x $ 的方程 $\dfrac{ax}{x - 1}=\dfrac{3}{x - 1}+1$ 有增根，则 $ a $ 的值是
$3$
；若无解，则 $ a $ 的值是$3$ 或 $1$
.答案
10. $3$ $3$ 或 $1$
解析
【解析】
1. 求有增根时$a$的值：
分式方程的增根是使分母为0的根，由$x-1=0$得增根$x=1$。
方程两边同乘$(x-1)$去分母，得$ax = 3 + (x - 1)$，整理为$(a-1)x = 2$。
将$x=1$代入整式方程$(a-1)x = 2$，得$a-1=2$，解得$a=3$。
2. 求无解时$a$的值：
分式方程无解分两种情况：
① 方程有增根，此时$a=3$；
② 整理后的整式方程$(a-1)x = 2$无解，即$a-1=0$，解得$a=1$，此时$0× x=2$无实数解，原分式方程也无解。
综上，无解时$a$的值为3或1。
【答案】
$3$；$3$或$1$
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解的判定
【点评】
本题需区分分式方程增根与无解的不同，无解包含产生增根和整式方程本身无解两种情况，解题时要分类讨论，避免遗漏情况。
【难度系数】
0.4
1. 求有增根时$a$的值：
分式方程的增根是使分母为0的根，由$x-1=0$得增根$x=1$。
方程两边同乘$(x-1)$去分母，得$ax = 3 + (x - 1)$，整理为$(a-1)x = 2$。
将$x=1$代入整式方程$(a-1)x = 2$，得$a-1=2$，解得$a=3$。
2. 求无解时$a$的值：
分式方程无解分两种情况：
① 方程有增根，此时$a=3$；
② 整理后的整式方程$(a-1)x = 2$无解，即$a-1=0$，解得$a=1$，此时$0× x=2$无实数解，原分式方程也无解。
综上，无解时$a$的值为3或1。
【答案】
$3$；$3$或$1$
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解的判定
【点评】
本题需区分分式方程增根与无解的不同，无解包含产生增根和整式方程本身无解两种情况，解题时要分类讨论，避免遗漏情况。
【难度系数】
0.4
11. 已知关于 $ x $ 的方程 $\dfrac{ax}{a + 1}-\dfrac{2}{x - 1}=1$ 的解与方程 $\dfrac{x + 4}{x}=3$ 的解相同，求 $ a $ 的值.
答案
11. 解：由 $\frac{x + 4}{x} = 3$，解得 $x = 2$。经检验，$x = 2$ 是方程 $\frac{x + 4}{x} = 3$ 的根。
∵ 方程 $\frac{ax}{a + 1} - \frac{2}{x - 1} = 1$ 的解与方程 $\frac{x + 4}{x} = 3$ 的解相同，
∴ 把 $x = 2$ 代入 $\frac{ax}{a + 1} - \frac{2}{x - 1} = 1$，得 $\frac{2a}{a + 1} - \frac{2}{2 - 1} = 1$，
即 $\frac{2a}{a + 1} = 3$，解得 $a = -3$。
经检验，$a = -3$ 是方程 $\frac{2a}{a + 1} - \frac{2}{2 - 1} = 1$ 的根，
∴ $a$ 的值为 $-3$。
∵ 方程 $\frac{ax}{a + 1} - \frac{2}{x - 1} = 1$ 的解与方程 $\frac{x + 4}{x} = 3$ 的解相同，
∴ 把 $x = 2$ 代入 $\frac{ax}{a + 1} - \frac{2}{x - 1} = 1$，得 $\frac{2a}{a + 1} - \frac{2}{2 - 1} = 1$，
即 $\frac{2a}{a + 1} = 3$，解得 $a = -3$。
经检验，$a = -3$ 是方程 $\frac{2a}{a + 1} - \frac{2}{2 - 1} = 1$ 的根，
∴ $a$ 的值为 $-3$。
解析
【解析】
1. 解方程 $\dfrac{x + 4}{x}=3$：
去分母得 $x + 4 = 3x$，移项合并同类项得 $2x = 4$，解得 $x = 2$，经检验，$x = 2$ 是该分式方程的根。
2. 由于两个方程的解相同，将 $x = 2$ 代入方程 $\dfrac{ax}{a + 1}-\dfrac{2}{x - 1}=1$，得：
$\dfrac{2a}{a + 1}-\dfrac{2}{2 - 1}=1$，即 $\dfrac{2a}{a + 1}-2=1$，移项得 $\dfrac{2a}{a + 1}=3$。
3. 解关于 $a$ 的方程：
去分母得 $2a = 3(a + 1)$，去括号得 $2a = 3a + 3$，移项合并同类项得 $-a = 3$，解得 $a = -3$。
经检验，$a = -3$ 是方程 $\dfrac{2a}{a + 1}=3$ 的根，故 $a$ 的值为 $-3$。
【答案】
$a=-3$
【知识点】
分式方程求解、同解方程应用
【点评】
本题考查分式方程的解法及同解方程的概念，解题时需注意分式方程必须检验根的合理性，避免出现增根问题。
【难度系数】
0.7
1. 解方程 $\dfrac{x + 4}{x}=3$：
去分母得 $x + 4 = 3x$，移项合并同类项得 $2x = 4$，解得 $x = 2$，经检验，$x = 2$ 是该分式方程的根。
2. 由于两个方程的解相同，将 $x = 2$ 代入方程 $\dfrac{ax}{a + 1}-\dfrac{2}{x - 1}=1$，得：
$\dfrac{2a}{a + 1}-\dfrac{2}{2 - 1}=1$，即 $\dfrac{2a}{a + 1}-2=1$，移项得 $\dfrac{2a}{a + 1}=3$。
3. 解关于 $a$ 的方程：
去分母得 $2a = 3(a + 1)$，去括号得 $2a = 3a + 3$，移项合并同类项得 $-a = 3$，解得 $a = -3$。
经检验，$a = -3$ 是方程 $\dfrac{2a}{a + 1}=3$ 的根，故 $a$ 的值为 $-3$。
【答案】
$a=-3$
【知识点】
分式方程求解、同解方程应用
【点评】
本题考查分式方程的解法及同解方程的概念，解题时需注意分式方程必须检验根的合理性，避免出现增根问题。
【难度系数】
0.7
