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一、填空。
1. 一个圆柱的底面积是15平方厘米,高是6厘米,它的体积是()立方厘米。
1. 一个圆柱的底面积是15平方厘米,高是6厘米,它的体积是()立方厘米。
答案
圆柱体积公式：$V = S × h$（其中$V$表示体积，$S$表示底面积，$h$表示高）。
已知圆柱底面积$S = 15$平方厘米，高$h = 6$厘米，代入公式可得：
$V = 15 × 6 = 90$（立方厘米）
90
已知圆柱底面积$S = 15$平方厘米，高$h = 6$厘米，代入公式可得：
$V = 15 × 6 = 90$（立方厘米）
90
2. 一个圆锥的底面积是15平方厘米,高是6厘米,它的体积是()立方厘米。
答案
圆锥体积公式：$V = \frac{1}{3}Sh$
其中$S = 15$平方厘米，$h = 6$厘米
$V = \frac{1}{3}×15×6$
$= 5×6$
$= 30$
30
其中$S = 15$平方厘米，$h = 6$厘米
$V = \frac{1}{3}×15×6$
$= 5×6$
$= 30$
30
3. 一个装有水的圆柱形玻璃缸,底面直径是20厘米。把一个钢球完全浸入水中(水未溢出),缸内水面上升了2厘米。这个钢球的体积是()立方厘米。
答案
$玻璃缸底面半径= 20 ÷ 2 = 10（厘米）$。
$底面积 = π × 10^2 = 100π（平方厘米）$。
$水面上升的体积 = 底面积 × 水面上升的高度= 100π × 2 = 200π （立方厘米）$。
这个体积等于钢球的体积。
$200π \approx 628（立方厘米）$。
故答案为$628$。
$底面积 = π × 10^2 = 100π（平方厘米）$。
$水面上升的体积 = 底面积 × 水面上升的高度= 100π × 2 = 200π （立方厘米）$。
这个体积等于钢球的体积。
$200π \approx 628（立方厘米）$。
故答案为$628$。
4. 把一个圆柱沿高剪开,侧面展开得到一个正方形,这个正方形的边长是6.28分米,这个圆柱的高是()分米,底面半径是()分米。
答案
6.28；1
解析：圆柱侧面展开为正方形，正方形边长等于圆柱的高和底面周长。故圆柱的高为6.28分米。底面周长$C=6.28$分米，根据$C=2π r$，$r=C÷(2π)=6.28÷(2×3.14)=1$分米。
解析：圆柱侧面展开为正方形，正方形边长等于圆柱的高和底面周长。故圆柱的高为6.28分米。底面周长$C=6.28$分米，根据$C=2π r$，$r=C÷(2π)=6.28÷(2×3.14)=1$分米。
5. 把一个圆柱削成一个最大的圆锥,体积减小了36立方分米,原来的圆柱的体积是()立方分米,圆锥的体积是()立方分米。
答案
因为等底等高的圆锥体积是圆柱体积的$\frac{1}{3}$，设圆柱体积为$V$，则圆锥体积为$\frac{1}{3}V$。
体积减小的值为圆柱体积减去圆锥体积，即$V - \frac{1}{3}V = \frac{2}{3}V$。
已知体积减小了36立方分米，所以$\frac{2}{3}V = 36$，解得$V = 36 ÷ \frac{2}{3} = 54$（立方分米）。
圆锥体积为$\frac{1}{3} × 54 = 18$（立方分米）。
54；18
体积减小的值为圆柱体积减去圆锥体积，即$V - \frac{1}{3}V = \frac{2}{3}V$。
已知体积减小了36立方分米，所以$\frac{2}{3}V = 36$，解得$V = 36 ÷ \frac{2}{3} = 54$（立方分米）。
圆锥体积为$\frac{1}{3} × 54 = 18$（立方分米）。
54；18
二、选择。(把正确答案的序号填在括号里)
1. 一个圆柱底面直径是10 cm,若高增加2 cm,则表面积增加()cm²。
A.31.4
B.62.8
C.20
D.157
1. 一个圆柱底面直径是10 cm,若高增加2 cm,则表面积增加()cm²。
A.31.4
B.62.8
C.20
D.157
答案
B
解析
圆柱的高增加2cm，底面积不变，则表面积增加的部分就是高为2cm的侧面积，
圆柱的侧面积公式为：$侧面积=2π rh$（$r$为半径，$h为高$），
已知圆柱底面直径是$10cm$，则半径为：$10÷2=5cm$，
把半径$5cm$，高$2cm$，代入侧面积公式得：
$2×3.14×5×2$
$=6.28×5×2$
$=31.4×2$
$=62.8cm^{2}$，
所以表面积增加了$62.8cm^{2}$，
圆柱的侧面积公式为：$侧面积=2π rh$（$r$为半径，$h为高$），
已知圆柱底面直径是$10cm$，则半径为：$10÷2=5cm$，
把半径$5cm$，高$2cm$，代入侧面积公式得：
$2×3.14×5×2$
$=6.28×5×2$
$=31.4×2$
$=62.8cm^{2}$，
所以表面积增加了$62.8cm^{2}$，
2. 一个圆柱和一个圆锥的底面积一样大,它们的体积也相等。如果圆柱的高是15厘米,那么圆锥的高应该是()厘米。
A.5
B.15
C.45
D.30
A.5
B.15
C.45
D.30
答案
C
解析
圆柱的体积公式为$V_{圆柱}=S_{圆柱底}h_{圆柱}$，圆锥的体积公式为$V_{圆锥}=\frac{1}{3}S_{圆锥底}h_{圆锥}$，已知圆柱与圆锥底面积一样大，即$S_{圆柱底}=S_{圆锥底}$，且它们体积相等，即$V_{圆柱}=V_{圆锥}$，那么$S_{圆柱底}h_{圆柱}=\frac{1}{3}S_{圆锥底}h_{圆锥}$，因为$S_{圆柱底}=S_{圆锥底}$，所以$h_{圆柱}=\frac{1}{3}h_{圆锥}$，已知圆柱高$15$厘米，则$15 =\frac{1}{3}h_{圆锥}$，解得$h_{圆锥}=45$厘米。
3. 有一块正方体木料,它的棱长是2分米,把它加工成一个最大的圆柱,这个圆柱的体积是()立方分米。
A.23.12
B.12.56
C.6.28
D.3.14
A.23.12
B.12.56
C.6.28
D.3.14
答案
C
解析
将正方体加工成最大的圆柱，则圆柱的直径和高等于正方体棱长，即直径为2分米，高为2分米，半径为$2 ÷ 2 = 1$（分米）。
根据圆柱体积公式$V = π r^2h$，可得体积为$3.14×1^2×2 = 6.28$（立方分米）。
根据圆柱体积公式$V = π r^2h$，可得体积为$3.14×1^2×2 = 6.28$（立方分米）。
4. 小军做了一个圆柱体容器和几个圆锥体容器,尺寸如下图所示(单位:cm)。将圆柱内的水倒入()圆锥内,正好倒满。
答案
1. 计算圆柱内水的体积：圆柱底面直径10cm，半径$r=10÷2=5$cm，水高6cm。
圆柱体积公式$V=πr²h$，水的体积$V_水=π×5²×6=150π$ $cm³$。
2. 计算各圆锥体积：
选项A：圆锥底面直径10cm（半径5cm），高18cm。
圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}πr²h$，$V_A=\frac{1}{3}×π×5²×18=150π$ $cm³$。
选项B：底面直径12cm（半径6cm），高18cm，$V_B=\frac{1}{3}×π×6²×18=216π$ $cm³$。
选项C：底面直径10cm（半径5cm），高15cm，$V_C=\frac{1}{3}×π×5²×15=125π$ $cm³$。
选项D：底面直径10cm（半径5cm），高6cm，$V_D=\frac{1}{3}×π×5²×6=50π$ $cm³$。
3. 比较得$V_水=V_A$。
A
圆柱体积公式$V=πr²h$，水的体积$V_水=π×5²×6=150π$ $cm³$。
2. 计算各圆锥体积：
选项A：圆锥底面直径10cm（半径5cm），高18cm。
圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}πr²h$，$V_A=\frac{1}{3}×π×5²×18=150π$ $cm³$。
选项B：底面直径12cm（半径6cm），高18cm，$V_B=\frac{1}{3}×π×6²×18=216π$ $cm³$。
选项C：底面直径10cm（半径5cm），高15cm，$V_C=\frac{1}{3}×π×5²×15=125π$ $cm³$。
选项D：底面直径10cm（半径5cm），高6cm，$V_D=\frac{1}{3}×π×5²×6=50π$ $cm³$。
3. 比较得$V_水=V_A$。
A
三、解决问题。
1. 李军过生日时,爸爸买来一个生日蛋糕(如下图)。
(1)在蛋糕盒的整个侧面都贴有商标纸,商标纸的面积至少是多少平方厘米?
(2)蛋糕盒的体积是多少立方厘米?
(3)扎这个蛋糕盒至少要用多少厘米长的彩带?(打结处彩带长20厘米)
1. 李军过生日时,爸爸买来一个生日蛋糕(如下图)。
(1)在蛋糕盒的整个侧面都贴有商标纸,商标纸的面积至少是多少平方厘米?
(2)蛋糕盒的体积是多少立方厘米?
(3)扎这个蛋糕盒至少要用多少厘米长的彩带?(打结处彩带长20厘米)
答案
(1)
侧面积公式为$S = π dh$，其中$d = 50\mathrm{cm}$，$h=15\mathrm{cm}$。
$π\approx3.14$，
$S = 3.14×50×15 = 2355\mathrm{cm^2}$。
所以，商标纸的面积至少是$2355\mathrm{cm^2}$。
(2)
圆柱体积公式为$V=π r^2h$，其中$r = \frac{d}{2}=\frac{50}{2}=25\mathrm{cm}$，$h = 15\mathrm{cm}$。
$V=3.14×25^2×15=3.14×625×15 = 29437.5\mathrm{cm^3}$。
所以，蛋糕盒的体积是$29437.5\mathrm{cm^3}$。
(3)
彩带长度为$4$个直径加上$4$个高再加上打结处长度，
即$4×50 + 4×15+20$
$=200+60 + 20$
$=280\mathrm{cm}$
所以，扎这个蛋糕盒至少要用$280\mathrm{cm}$长的彩带。
侧面积公式为$S = π dh$，其中$d = 50\mathrm{cm}$，$h=15\mathrm{cm}$。
$π\approx3.14$，
$S = 3.14×50×15 = 2355\mathrm{cm^2}$。
所以，商标纸的面积至少是$2355\mathrm{cm^2}$。
(2)
圆柱体积公式为$V=π r^2h$，其中$r = \frac{d}{2}=\frac{50}{2}=25\mathrm{cm}$，$h = 15\mathrm{cm}$。
$V=3.14×25^2×15=3.14×625×15 = 29437.5\mathrm{cm^3}$。
所以，蛋糕盒的体积是$29437.5\mathrm{cm^3}$。
(3)
彩带长度为$4$个直径加上$4$个高再加上打结处长度，
即$4×50 + 4×15+20$
$=200+60 + 20$
$=280\mathrm{cm}$
所以，扎这个蛋糕盒至少要用$280\mathrm{cm}$长的彩带。
