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【对点训练】
2. 把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化而变化的情况如表格所示：
(1) 上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？
(2) 求当碗的数量为$7$时，这摞碗的高度。
2. 把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化而变化的情况如表格所示：
(1) 上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？
(2) 求当碗的数量为$7$时，这摞碗的高度。
答案
(1)自变量：碗的数量；因变量：这摞碗的高度。
(2)由表格中数据的规律可知，每增加一个碗，高度增加$1.2\mathrm{cm}$，
当碗的数量为$1$只时，高度为$4\mathrm{cm}$，
设碗的数量为$x$，这摞碗的高度为$y$，
则高度与碗的数量之间的关系为：$y = 4 + 1.2(x - 1)=1.2x+2.8$，
当$x = 7$时，$y = 1.2×7 + 2.8 = 11.2$。
所以当碗的数量为$7$时，这摞碗的高度为$11.2\mathrm{cm}$。
(2)由表格中数据的规律可知，每增加一个碗，高度增加$1.2\mathrm{cm}$，
当碗的数量为$1$只时，高度为$4\mathrm{cm}$，
设碗的数量为$x$，这摞碗的高度为$y$，
则高度与碗的数量之间的关系为：$y = 4 + 1.2(x - 1)=1.2x+2.8$，
当$x = 7$时，$y = 1.2×7 + 2.8 = 11.2$。
所以当碗的数量为$7$时，这摞碗的高度为$11.2\mathrm{cm}$。
1. 下列关于$x$的函数是一次函数的是()
A.$y=\frac{2}{x}$
B.$y=\sqrt{x + 1}$
C.$y = x^{2}-1$
D.$y = 3x$
A.$y=\frac{2}{x}$
B.$y=\sqrt{x + 1}$
C.$y = x^{2}-1$
D.$y = 3x$
答案
D
解析
一次函数的一般形式为$y=kx+b$，其中$k$，$b$为常数，$k≠0$，$x$的次数是$1$。
选项A：$y = \frac{2}{x}$，自变量$x$的次数是$-1$，不是一次函数。
选项B：$y=\sqrt{x + 1}$，自变量$x$在根号下，不是一次函数。
选项C：$y = x^{2}-1$，自变量$x$的次数是$2$，不是一次函数。
选项D：$y = 3x$，符合一次函数$y=kx+b$（$k = 3$，$b = 0$）的形式，是一次函数。
选项A：$y = \frac{2}{x}$，自变量$x$的次数是$-1$，不是一次函数。
选项B：$y=\sqrt{x + 1}$，自变量$x$在根号下，不是一次函数。
选项C：$y = x^{2}-1$，自变量$x$的次数是$2$，不是一次函数。
选项D：$y = 3x$，符合一次函数$y=kx+b$（$k = 3$，$b = 0$）的形式，是一次函数。
2. 下列关系中的两个量成正比例的是()
A.从甲地到乙地，所用的时间和速度
B.正方形的面积与边长
C.买同样的作业本所要的钱数和作业本的数量
D.人的体重与身高
A.从甲地到乙地，所用的时间和速度
B.正方形的面积与边长
C.买同样的作业本所要的钱数和作业本的数量
D.人的体重与身高
答案
C
解析
A选项中，设从甲地到乙地的路程为$s$，时间为$t$，速度为$v$，根据公式$s = vt$，则$v=\frac{s}{t}（s为定值）$，$v$与$t$是反比例函数关系；
B选项中，设正方形的面积为$y$，边长为$x$，则$y = x^{2}$，这是二次函数关系；
C选项中，设作业本的单价为$k$（$k$为常数），所要的钱数为$y$，作业本的数量为$x$，则$y = kx$（$k≠0$），$y$与$x$是正比例函数关系；
D选项中，人的体重与身高不是具有固定比例关系的关系。
B选项中，设正方形的面积为$y$，边长为$x$，则$y = x^{2}$，这是二次函数关系；
C选项中，设作业本的单价为$k$（$k$为常数），所要的钱数为$y$，作业本的数量为$x$，则$y = kx$（$k≠0$），$y$与$x$是正比例函数关系；
D选项中，人的体重与身高不是具有固定比例关系的关系。
3. 下列函数中是正比例函数的是()
A.$y=\frac{1}{2x}$
B.$y = x^{2}$
C.$y = 2x$
D.$y = 2x - 1$
A.$y=\frac{1}{2x}$
B.$y = x^{2}$
C.$y = 2x$
D.$y = 2x - 1$
答案
C
解析
正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$），分析各个选项：
选项A：$y = \frac{1}{2x}=\frac{1}{2}×\frac{1}{x}$，自变量$x$在分母位置，不符合正比例函数形式。
选项B：$y = x^{2}$，自变量$x$的次数是$2$，不符合正比例函数形式。
选项C：$y = 2x$，符合正比例函数$y = kx$（$k = 2≠0$）的形式。
选项D：$y = 2x - 1$，是一次函数，但不符合正比例函数$y = kx$的形式。
选项A：$y = \frac{1}{2x}=\frac{1}{2}×\frac{1}{x}$，自变量$x$在分母位置，不符合正比例函数形式。
选项B：$y = x^{2}$，自变量$x$的次数是$2$，不符合正比例函数形式。
选项C：$y = 2x$，符合正比例函数$y = kx$（$k = 2≠0$）的形式。
选项D：$y = 2x - 1$，是一次函数，但不符合正比例函数$y = kx$的形式。
4. 若函数$y=(3 - m)x^{m^{2}-8}$是正比例函数，则常数$m$的值是()
A.$-\sqrt{7}$
B.$\pm\sqrt{7}$
C.$\pm3$
D.$-3$
A.$-\sqrt{7}$
B.$\pm\sqrt{7}$
C.$\pm3$
D.$-3$
答案
D
解析
根据题意，函数 $y=(3 - m)x^{m^{2}-8}$ 是正比例函数，需满足两个条件：
1. 指数部分 $m^2 - 8 = 1$，即 $m^2 = 9$，解得 $m = \pm 3$；
2. 比例系数 $3 - m ≠ 0$，即 $m ≠ 3$。
综上，$m = -3$。
5. 已知函数$y=\sqrt{a - 2}x^{a^{2}-8}+3$是一次函数，则$a$的值是()
A.$\pm3$
B.$3$
C.$-3$
D.$1$
A.$\pm3$
B.$3$
C.$-3$
D.$1$
答案
B
解析
根据一次函数的定义，函数$y=\sqrt{a - 2}x^{a^{2}-8}+3$为一次函数，则需满足：
$a^{2} - 8 = 1$，且$\sqrt{a - 2} ≠ 0$，同时$a - 2≥0$。
由$a^{2} - 8 = 1$，即$a^{2}=9$，解得$a = \pm 3$。
由$\sqrt{a - 2} ≠ 0$，可得$a - 2≠0$，即$a≠2$，同时$a - 2≥0$，即$a≥2$，所以$a = - 3$舍去，$a$的值为$3$。
$a^{2} - 8 = 1$，且$\sqrt{a - 2} ≠ 0$，同时$a - 2≥0$。
由$a^{2} - 8 = 1$，即$a^{2}=9$，解得$a = \pm 3$。
由$\sqrt{a - 2} ≠ 0$，可得$a - 2≠0$，即$a≠2$，同时$a - 2≥0$，即$a≥2$，所以$a = - 3$舍去，$a$的值为$3$。
6. 一次函数$y = kx + 3$的自变量取值增加$2$，函数值就相应减少$2$，则$k$的值为()
A.$2$
B.$-2$
C.$-1$
D.$4$
A.$2$
B.$-2$
C.$-1$
D.$4$
答案
C
解析
设自变量为$x$时，函数值为$y = kx + 3$。自变量取值增加$2$后为$x + 2$，此时函数值为$y' = k(x + 2) + 3$。根据题意，$y - y' = 2$，即$(kx + 3) - [k(x + 2) + 3] = 2$，化简得$kx + 3 - kx - 2k - 3 = 2$，$-2k = 2$，解得$k = -1$。
7. 已知函数$y=(a + 1)x + a^{2}-1$，当$a$时，它是一次函数。
答案
$≠ -1$
解析
一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k$，$b$为常数，$k≠0$）。对于函数$y=(a + 1)x + a^{2}-1$，要使其为一次函数，需满足$a + 1≠0$，解得$a≠ -1$。
8. 定义$[p,q]$为一次函数$y = px + q$的特征数，若特征数为$[t,t + 3]$的一次函数为正比例函数，则这个正比例函数为。
答案
$y=-3x$
解析
由特征数定义得一次函数为$y=tx+(t+3)$。因为该函数为正比例函数，所以常数项$t+3=0$，解得$t=-3$。则正比例函数为$y=-3x$。
