重难点 利用一元一次方程解决形积问题
【典例】一个瓶子的容积为1.9 L，瓶内装着一些溶液，当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为15 cm，倒放时，空余部分的高度为4 cm（如图）.则瓶内溶液的体积是（C）

解析：设瓶子的底面积为 $S$ $cm^2$，1 L=1 000 $cm^3$，
依题意，得 $15S + 4S = 1.9×1 000$，
解得 $S = 100$，
$100×15 = 1 500$（$cm^3$）=1.5（L），
答：瓶内溶液的体积是1.5 L，故选C.

C

设瓶子的底面积为$S$ $cm^2$，1L = 1000$cm^3$，
当瓶子正放时，溶液体积为$15S$ $cm^3$，倒放时，空余部分体积为$4S$ $cm^3$，
因为瓶子容积为$1.9×1000 = 1900$ $cm^3$，所以$15S + 4S=1900$，
合并同类项得$19S = 1900$，
解得$S = 100$，
则瓶内溶液体积为$100×15 = 1500$（$cm^3$） = 1.5（L）。

【对点训练】
一个长方形的周长是20厘米，已知长和宽的比是7:3，这个长方形的面积是()
A. 84平方厘米
B. 21平方厘米
C. 14平方厘米
D. 6平方厘米

B

设长方形的长为 $7x$ 厘米，宽为 $3x$ 厘米。
根据周长公式，$2 × (7x + 3x) = 20$，
化简得到 $20x = 20$，
解得 $x = 1$。
因此，长为 $7 × 1 = 7$ 厘米，宽为 $3 × 1 = 3$ 厘米。
面积计算为 $7 × 3 = 21$ 平方厘米。

基础巩固
1. 将一个周长为42 cm的长方形的长减少3 cm，宽增加2 cm，能得到一个正方形.若设长方形的长为 $x$ $cm$，根据题意可列方程为()
A. $x + 2 = (42 - x) - 3$
B. $x - 3 = (42 - x) + 2$
C. $x + 2 = (21 - x) - 3$
D. $x - 3 = (21 - x) + 2$
2. 如图，轩轩将一个正方形纸片剪去一个宽为4 cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5 cm的长条.如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少？为解决这个问题，轩轩设正方形的边长为 $x$ $cm$，则依题意可得方程为()

A. $4x = 5(x - 4)$
B. $4(x - 4) = 5x$
C. $4x = 5(x + 4)$
D. $4(x + 4) = 5x$
3. 如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分别为80 $cm^2$、100 $cm^2$，且甲容器装满水，乙容器是空的.若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8 cm，设甲容器的容积为 $x$ $cm^3$，则根据题意得()

A. $80x = 100x - 8$
B. $80x - 8 = 100x$
C. $\frac{x}{80} = \frac{x}{100} - 8$
D. $\frac{x}{80} - 8 = \frac{x}{100}$
4. 如图是电脑屏幕的色块图，它是由6个颜色不同的正方形组成的.若中间最小的正方形边长为1，则所拼成的长方形的面积是()

A. 144
B. 154
C. 143
D. 169
5. 一个三角形的三边长的比为3:4:5，最短的边比最长的边短6 cm，则这个三角形的周长为cm.
6. 铸造三个直径为2 cm、高为16 cm的圆柱形零件，需要截取直径为4 cm的圆柱形钢筋多长？
7. 如图，将一张正方形铁片的4个角剪去4个大小一样的小正方形，然后折起来就可以制成一个无盖的长方体容器，设这个正方形铁片的边长为 $a$，做成的无盖长方体容器高为 $h$.
(1)用含 $a$ 和 $h$ 的代数式表示出这个无盖长方体容器的容积 $V$；
(2)若 $a = 12$ $cm$，$h = 2$ $cm$，则做成的无盖长方体容器的容积是多少？
(3)在(2)中做成的无盖长方体容器中注满水，再把水全部倒入一个底面直径为8 cm的圆柱形容器内，请问该圆柱形容器的高度至少是多少？($π$ 取3.14，结果精确到0.1 cm)

1.D
2.A
3.D
4.C
5.36
6.12cm
7.(1)$V = (a - 2h)^2 × h$
(2)128$cm^3$
(3)2.5cm
（题目第8题未解析，故没有答案）

1.长方形的周长为42 cm，设长为 $x$ cm，宽为 $\frac{42}{2} - x = 21 - x$ cm。
长减少3 cm，宽增加2 cm，得到正方形，即 $x - 3 = (21 - x) + 2$。
故答案为：D。
2.设正方形的边长为 $x$ cm，第一个长条的面积为 $4x$，第二个长条的面积为 $5(x - 4)$，两者相等，即 $4x = 5(x - 4)$。
故答案为：A。
3.甲容器的容积为 $x$ $cm^3$，甲的水位高度为 $\frac{x}{80}$ cm，乙的水位高度为 $\frac{x}{100}$ cm，根据题意，$\frac{x}{80} - 8 = \frac{x}{100}$。
故答案为：D。
4.设次小的正方形的边长为x，则其余正方形的边长依次为 x+1，x+2，x+3，x+3，
根据各正方形边长之间的关系可以得出：
x+3+1=x+x+x-1,
解得x=4,
则最大的正方形的边长为：x+3=7,
所以拼成的长方形的面积为：$13× 11=143$。
故答案为：C。
5.设三角形三边分别为 3k, 4k, 5k，根据题意，3k = 5k - 6，解得 k = 3，周长为 $3k + 4k + 5k = 12k = 36$ cm。
6.三个小圆柱的体积为 $3 × π × (1)^2 × 16 = 48π$ $cm^3$，大圆柱的直径为4 cm，设其高为 $h$，则 $π × (2)^2 × h = 48π$，解得 $h = 12$ cm。
7.(1)无盖长方体容器的长和宽均为 $a - 2h$，高为 $h$，容积 $V = (a - 2h)^2 × h$。
(2)代入 $a = 12$ cm，$h = 2$ cm，得 $V = (12 - 4)^2 × 2 = 128$ $cm^3$。
(3)圆柱形容器的底面积为 $π × (4)^2 = 16π$ $cm^2$，水体积为 128 $cm^3$，高度 $h = \frac{128}{16π} \approx 2.5$ cm。

素养提升
8.（应用意识）实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个相同高度的圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1:2:1，用两个相同的管子在10 cm高度处连通（即管子底部离容器底10 cm）.现三个容器中，只有乙中有水，水位高4 cm，如图所示.若每分钟同时向甲和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，甲的水位上升3 cm.求开始注入多少分钟水量后，甲的水位比乙高1 cm.

$\frac{5}{3}$分钟或$\frac{20}{3}$分钟

设开始注入$ t $分钟后，甲的水位比乙高$ 1\ \mathrm{cm} $。
甲、乙、丙底面半径比为$ 1:2:1 $，设甲半径为$ r $，则甲、丙底面积$ S = π r^2 $，乙底面积$ 4S $。甲注水速度：1分钟水位升$ 3\ \mathrm{cm} $，故每分钟注水量$ Q = 3S $（甲、丙注入量相同）。
情况1：甲水位未达10cm（$ t ≤ \frac{10}{3} $）
甲水位$ 3t $，乙水位$ 4\ \mathrm{cm} $。
由$ 3t = 4 + 1 $，解得$ t = \frac{5}{3} $。此时甲水位$ 5\ \mathrm{cm} ＜ 10\ \mathrm{cm} $，符合。
情况2：甲水位达10cm后（$ t ＞ \frac{10}{3} $）
甲水位维持$ 10\ \mathrm{cm} $，注入水全部流入乙。乙水位$ h = \frac{16S + 6S(t - \frac{10}{3})}{4S} = \frac{3t - 2}{2} $。
由$ 10 = h + 1 $，即$ \frac{3t - 2}{2} = 9 $，解得$ t = \frac{20}{3} $。
综上，$ t = \frac{5}{3} $或$ \frac{20}{3} $。