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9. 如图,已知AD是△ABC的角平分线,DE//AC交AB于点E,F是AC上一点,请你添加一个条件:
DF//AB(答案不唯一)
,使四边形AEDF是菱形。答案
9. DF//AB(答案不唯一)
10. 如图,菱形DEFG的顶点都在△ABC的边上。若AG=DG=CF=BD,则∠A=
72
°。答案
10. 72
11. 如图,在正方形ABCD的外侧作一个△CDE,已知DC=DE,∠DCE=70°,那么∠AED等于
25°
。答案
11. 25°
三、解答题(共34分)
12. (17分)如图,E是矩形ABCD对角线AC上的点(不与A,C重合),连结BE,过点E作EF⊥BE交CD于点F。连结BF交AC于点G,BE=AD。
(1)求证:∠FEC=∠FCE。
(2)试判断线段BF与AC的位置关系,并说明理由。
12. (17分)如图,E是矩形ABCD对角线AC上的点(不与A,C重合),连结BE,过点E作EF⊥BE交CD于点F。连结BF交AC于点G,BE=AD。
(1)求证:∠FEC=∠FCE。
(2)试判断线段BF与AC的位置关系,并说明理由。
答案
12. 解:(1)证明:
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴AD=BC,∠DCB=90°。
∵BE=AD,
∴BC=BE,
∴∠BEC=∠BCE。
∵EF⊥BE,
∴∠BEF=∠DCB=90°,
∴∠FEC=∠FCE。
(2)BF⊥AC。理由如下:
由(1)知,∠FEC=∠FCE,
∴EF=CF。
∵BE=BC,
∴BF 垂直平分 CE,即 BF⊥AC。
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴AD=BC,∠DCB=90°。
∵BE=AD,
∴BC=BE,
∴∠BEC=∠BCE。
∵EF⊥BE,
∴∠BEF=∠DCB=90°,
∴∠FEC=∠FCE。
(2)BF⊥AC。理由如下:
由(1)知,∠FEC=∠FCE,
∴EF=CF。
∵BE=BC,
∴BF 垂直平分 CE,即 BF⊥AC。
13. (17分)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在边AB,AD上,AE=AF,连结OE,OF。
(1)求证:∠AEO=∠AFO。
(2)若AC=6,BD=6√3,过点O作OH⊥BC于点H,求OH的长。
(1)求证:∠AEO=∠AFO。
(2)若AC=6,BD=6√3,过点O作OH⊥BC于点H,求OH的长。
答案
13. 解:(1)证明:
∵四边形 ABCD 是菱形,AC 为一条对角线,
∴∠BAC=∠DAC。
∵AO=AO,AE=AF,
∴△AEO≌△AFO(SAS),
∴∠AEO=∠AFO。
(2)
∵四边形 ABCD 是菱形$,AC=6,BD=6\sqrt{3},$
∴$AO=OC=\frac{1}{2}AC=3,BO=OD=\frac{1}{2}BD=3\sqrt{3},BO⊥OC,$
∴$BC=\sqrt{BO^{2}+OC^{2}}=\sqrt{(3\sqrt{3})^{2}+3^{2}}=6$。
∵OH⊥BC,
∴$OH=\frac{OB· OC}{BC}=\frac{3\sqrt{3}×3}{6}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
∵四边形 ABCD 是菱形,AC 为一条对角线,
∴∠BAC=∠DAC。
∵AO=AO,AE=AF,
∴△AEO≌△AFO(SAS),
∴∠AEO=∠AFO。
(2)
∵四边形 ABCD 是菱形$,AC=6,BD=6\sqrt{3},$
∴$AO=OC=\frac{1}{2}AC=3,BO=OD=\frac{1}{2}BD=3\sqrt{3},BO⊥OC,$
∴$BC=\sqrt{BO^{2}+OC^{2}}=\sqrt{(3\sqrt{3})^{2}+3^{2}}=6$。
∵OH⊥BC,
∴$OH=\frac{OB· OC}{BC}=\frac{3\sqrt{3}×3}{6}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
