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1. 在口袋里放同样大小、同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个，然后从口袋里摸球。最少摸出多少个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？
答案
3×3 + 1 = 10（个）
答：最少摸出10个球，才能保证至少有4个小球颜色相同。
答：最少摸出10个球，才能保证至少有4个小球颜色相同。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要运用“最不利原则”（抽屉原理的核心思路）来分析。首先考虑最极端的“倒霉”情况：为了不出现至少4个同色小球，我们尽可能多地摸球，但每种颜色的小球都只摸出3个。此时再摸出1个小球，无论这个小球是什么颜色，都会使得该颜色的小球数量达到4个，从而满足“至少有4个小球颜色相同”的要求。我们需要先计算这种最不利情况下的摸球数量，再加上1即可得到结果。
【解析】
1. 计算最不利情况的摸球数：因为有红、黄、蓝三种颜色，每种颜色先摸出3个，总数量为 $3×3 = 9$（个）
2. 再摸1个球，必然会出现某一种颜色的球有4个，因此总摸球数为 $9 + 1 = 10$（个）
答：最少摸出10个球，才能保证至少有4个小球颜色相同。
【答案】
10个
【知识点】
抽屉原理（最不利原则）
【点评】
本题是抽屉原理的基础应用题型，关键在于理解并运用“最不利原则”分析极端情况，通过排除不满足条件的最大可能，推导得出保证条件成立的最小数量，有助于提升逻辑分析和问题解决能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们需要运用“最不利原则”（抽屉原理的核心思路）来分析。首先考虑最极端的“倒霉”情况：为了不出现至少4个同色小球，我们尽可能多地摸球，但每种颜色的小球都只摸出3个。此时再摸出1个小球，无论这个小球是什么颜色，都会使得该颜色的小球数量达到4个，从而满足“至少有4个小球颜色相同”的要求。我们需要先计算这种最不利情况下的摸球数量，再加上1即可得到结果。
【解析】
1. 计算最不利情况的摸球数：因为有红、黄、蓝三种颜色，每种颜色先摸出3个，总数量为 $3×3 = 9$（个）
2. 再摸1个球，必然会出现某一种颜色的球有4个，因此总摸球数为 $9 + 1 = 10$（个）
答：最少摸出10个球，才能保证至少有4个小球颜色相同。
【答案】
10个
【知识点】
抽屉原理（最不利原则）
【点评】
本题是抽屉原理的基础应用题型，关键在于理解并运用“最不利原则”分析极端情况，通过排除不满足条件的最大可能，推导得出保证条件成立的最小数量，有助于提升逻辑分析和问题解决能力。
【难度系数】
0.6
2. 从一副去掉大、小王的扑克牌(52张)中抽牌。
(1)至少抽出多少张牌，才能保证四种花色的牌都有？
(2)至少抽出多少张牌，才能保证有4张牌是同一花色的？
(1)至少抽出多少张牌，才能保证四种花色的牌都有？
(2)至少抽出多少张牌，才能保证有4张牌是同一花色的？
答案
(1)
$13×3 + 1 = 40$（张）
答：至少抽出40张牌，才能保证四种花色的牌都有。
(2)
$4×3 + 1 = 13$（张）
答：至少抽出13张牌，才能保证有4张牌是同一花色的。
$13×3 + 1 = 40$（张）
答：至少抽出40张牌，才能保证四种花色的牌都有。
(2)
$4×3 + 1 = 13$（张）
答：至少抽出13张牌，才能保证有4张牌是同一花色的。
解析
【分析】
这两道题需运用“最不利原则”解题，即先考虑最不符合要求的极端情况，在此基础上再抽1张，就能保证满足题目条件。
(1) 要保证四种花色都有，最不利的情况是先抽完三种花色的全部牌，每种花色有13张，三种花色共13×3=39张，此时再抽1张必然是第四种花色，可保证四种花色齐全。
(2) 要保证有4张牌是同一花色，最不利的情况是每种花色先抽3张，四种花色共4×3=12张，此时再抽1张，无论属于哪种花色，都能使该花色的牌达到4张，满足要求。
【解析】
(1) 先计算三种花色的总牌数：
$13×3 = 39$（张）
再抽1张保证四种花色都有：
$39 + 1 = 40$（张）
答：至少抽出40张牌，才能保证四种花色的牌都有。
(2) 先计算每种花色抽3张的总牌数：
$4×3 = 12$（张）
再抽1张保证有4张牌是同一花色：
$12 + 1 = 13$（张）
答：至少抽出13张牌，才能保证有4张牌是同一花色的。
【答案】
(1) 40张；(2) 13张
【知识点】
抽屉原理、最不利原则
【点评】
本题是抽屉原理的典型基础应用，核心是理解并运用“最不利原则”，通过先穷尽所有不满足条件的极端情况，再加1确保达成要求，理清该思路后可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.6
这两道题需运用“最不利原则”解题，即先考虑最不符合要求的极端情况，在此基础上再抽1张，就能保证满足题目条件。
(1) 要保证四种花色都有，最不利的情况是先抽完三种花色的全部牌，每种花色有13张，三种花色共13×3=39张，此时再抽1张必然是第四种花色，可保证四种花色齐全。
(2) 要保证有4张牌是同一花色，最不利的情况是每种花色先抽3张，四种花色共4×3=12张，此时再抽1张，无论属于哪种花色，都能使该花色的牌达到4张，满足要求。
【解析】
(1) 先计算三种花色的总牌数：
$13×3 = 39$（张）
再抽1张保证四种花色都有：
$39 + 1 = 40$（张）
答：至少抽出40张牌，才能保证四种花色的牌都有。
(2) 先计算每种花色抽3张的总牌数：
$4×3 = 12$（张）
再抽1张保证有4张牌是同一花色：
$12 + 1 = 13$（张）
答：至少抽出13张牌，才能保证有4张牌是同一花色的。
【答案】
(1) 40张；(2) 13张
【知识点】
抽屉原理、最不利原则
【点评】
本题是抽屉原理的典型基础应用，核心是理解并运用“最不利原则”，通过先穷尽所有不满足条件的极端情况，再加1确保达成要求，理清该思路后可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.6
1. 六(1)班有49名学生，王老师了解到期中考试该班的数学成绩除3人外，均在86分以上，王老师说六(1)班至少有4人成绩相同。王老师说得对吗？为什么？
答案
49-3=46（人）
100-87+1=14（种）
46÷14=3（人）……4（人）
3+1=4（人）
答：王老师说得对。
100-87+1=14（种）
46÷14=3（人）……4（人）
3+1=4（人）
答：王老师说得对。
解析
【分析】
首先，我们需要先明确核心解题方向：利用抽屉原理判断至少有多少人成绩相同。第一步要算出86分以上的学生人数；第二步确定86分以上的分数有多少种（这就是“抽屉”的数量）；第三步将学生人数看作“物品”，放入分数“抽屉”中，通过除法运算结合余数分析，得出至少有多少人成绩相同，进而验证王老师的说法是否正确。
【解析】
1. 计算86分以上的学生人数：
$49 - 3 = 46$（人）
2. 计算86分以上（即87分到100分）的分数种类：
$100 - 87 + 1 = 14$（种）（加1是为了包含87分和100分两个端点，确保分数种类计算完整）
3. 运用抽屉原理分析：
把46名学生看作“物品”，14种分数看作“抽屉”，$46÷14 = 3$（人）$······4$（人），这表示平均每个分数对应3人后，还剩余4人。剩余的4人无论分到哪几种分数中，都会使得至少有一个分数的人数变为$3 + 1 = 4$（人）。
答：王老师说得对。
【答案】
王老师说得对，因为通过抽屉原理计算可知，该班至少有4人成绩相同。
【知识点】
抽屉原理
【点评】
本题是抽屉原理的典型实际应用，解题关键在于准确界定“抽屉”（不同分数的数量）和“物品”（学生人数），通过整数除法及余数分析得出结论，考查学生对抽屉原理的理解与实际运用能力。
【难度系数】
0.4
首先，我们需要先明确核心解题方向：利用抽屉原理判断至少有多少人成绩相同。第一步要算出86分以上的学生人数；第二步确定86分以上的分数有多少种（这就是“抽屉”的数量）；第三步将学生人数看作“物品”，放入分数“抽屉”中，通过除法运算结合余数分析，得出至少有多少人成绩相同，进而验证王老师的说法是否正确。
【解析】
1. 计算86分以上的学生人数：
$49 - 3 = 46$（人）
2. 计算86分以上（即87分到100分）的分数种类：
$100 - 87 + 1 = 14$（种）（加1是为了包含87分和100分两个端点，确保分数种类计算完整）
3. 运用抽屉原理分析：
把46名学生看作“物品”，14种分数看作“抽屉”，$46÷14 = 3$（人）$······4$（人），这表示平均每个分数对应3人后，还剩余4人。剩余的4人无论分到哪几种分数中，都会使得至少有一个分数的人数变为$3 + 1 = 4$（人）。
答：王老师说得对。
【答案】
王老师说得对，因为通过抽屉原理计算可知，该班至少有4人成绩相同。
【知识点】
抽屉原理
【点评】
本题是抽屉原理的典型实际应用，解题关键在于准确界定“抽屉”（不同分数的数量）和“物品”（学生人数），通过整数除法及余数分析得出结论，考查学生对抽屉原理的理解与实际运用能力。
【难度系数】
0.4
2. 一把钥匙只能开一把锁。现在有10把锁和10把钥匙，但是钥匙和锁全弄乱了。至少试验多少次才能保证将这些钥匙和锁全部匹配？
答案
9+8+7+6+5+4+3+2+1=(9+1)×9÷2=45（次）
答：至少试验45次才能保证将这些钥匙和锁全部匹配。
答：至少试验45次才能保证将这些钥匙和锁全部匹配。
解析
【分析】
要解决这个问题，关键要抓住“保证全部匹配”这一条件，需考虑最不利的试验情况：
1. 对于第一把锁，最多试验9次。因为若试了9把钥匙都无法打开，剩下的第10把钥匙必然能打开这把锁，无需再试第10次；
2. 此时已匹配好1组钥匙和锁，剩余9把锁和9把钥匙。对于第二把锁，最多试验8次（同理，试8把钥匙都不对时，剩下的那把就是匹配的）；
3. 以此类推，每匹配好一把锁，后续试验次数就减少1次，直到第9把锁，仅需试验1次，最后1把钥匙和1把锁可直接匹配，无需试验。
将每一步的试验次数相加，就能得到保证全部匹配的最少试验次数。
【解析】
根据最不利原则，依次计算每把锁的最多试验次数：
第一把锁最多试9次，第二把锁最多试8次，第三把锁最多试7次……第九把锁最多试1次，第十把锁无需试验。
总试验次数为：
$9+8+7+6+5+4+3+2+1$
利用等差数列求和公式（首项+末项）×项数÷2计算：
$(9+1)×9÷2 = 10×9÷2 = 45 \mathrm{（次）}$
答：至少试验45次才能保证将这些钥匙和锁全部匹配。
【答案】
45次
【知识点】
最不利原则、等差数列求和
【点评】
本题核心是理解“保证匹配”需考虑最不利的极端情况，不能仅依赖运气最佳的情形。通过逐步递减的累加计算，结合等差数列求和公式可快速得出结果，考查了逻辑推理能力和对最不利原则的实际应用。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，关键要抓住“保证全部匹配”这一条件，需考虑最不利的试验情况：
1. 对于第一把锁，最多试验9次。因为若试了9把钥匙都无法打开，剩下的第10把钥匙必然能打开这把锁，无需再试第10次；
2. 此时已匹配好1组钥匙和锁，剩余9把锁和9把钥匙。对于第二把锁，最多试验8次（同理，试8把钥匙都不对时，剩下的那把就是匹配的）；
3. 以此类推，每匹配好一把锁，后续试验次数就减少1次，直到第9把锁，仅需试验1次，最后1把钥匙和1把锁可直接匹配，无需试验。
将每一步的试验次数相加，就能得到保证全部匹配的最少试验次数。
【解析】
根据最不利原则，依次计算每把锁的最多试验次数：
第一把锁最多试9次，第二把锁最多试8次，第三把锁最多试7次……第九把锁最多试1次，第十把锁无需试验。
总试验次数为：
$9+8+7+6+5+4+3+2+1$
利用等差数列求和公式（首项+末项）×项数÷2计算：
$(9+1)×9÷2 = 10×9÷2 = 45 \mathrm{（次）}$
答：至少试验45次才能保证将这些钥匙和锁全部匹配。
【答案】
45次
【知识点】
最不利原则、等差数列求和
【点评】
本题核心是理解“保证匹配”需考虑最不利的极端情况，不能仅依赖运气最佳的情形。通过逐步递减的累加计算，结合等差数列求和公式可快速得出结果，考查了逻辑推理能力和对最不利原则的实际应用。
【难度系数】
0.6
