5. 如图,已知线段$OA$交$\odot O$于点$B$,且$OB = AB$,$P$是$\odot O$上的一个动点,$\angle OAP$的最大值是.
答案
30°
6. 如图,等边三角形$ABC$的周长为$6\pi$,半径是$1$的$\odot O$从切点$D$的位置出发,在$\triangle ABC$外部按顺时针方向沿三角形各边滚动,直到又回到点$D$的位置,则$\odot O$自转了().
A. $2$周
B. $3$周
C. $4$周
D. $5$周
A. $2$周
B. $3$周
C. $4$周
D. $5$周
答案
C
7. 如图,正方形$ABCD$的边长为$4\mathrm{cm}$,动点$P$在正方形$ABCD$的边上沿$A \to B \to C \to D$的路径以$1\mathrm{cm}/\mathrm{s}$的速度运动.在这个运动过程中,$\triangle APD$的面积$S(\mathrm{cm}^{2})$随时间$t(\mathrm{s})$的变化关系,用图像表示正确的是().
答案
D
8. 如图,二次函数$y = -x^{2} + 2x + 3$的图像与$x$轴交于$A$、$B$两点,与$y$轴交于点$C$,点$D$是该抛物线的顶点.
(1)求直线$AC$相应的一次函数的表达式及$B$、$D$两点的坐标.
(2)点$P$是$x$轴上一个动点,过点$P$作直线$l // AC$交该抛物线于点$Q$.试探究:随着点$P$的运动,在抛物线上是否存在点$Q$,使以点$A$、$P$、$Q$、$C$为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出符合条件的点$Q$的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求直线$AC$相应的一次函数的表达式及$B$、$D$两点的坐标.
(2)点$P$是$x$轴上一个动点,过点$P$作直线$l // AC$交该抛物线于点$Q$.试探究:随着点$P$的运动,在抛物线上是否存在点$Q$,使以点$A$、$P$、$Q$、$C$为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出符合条件的点$Q$的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
解：(1) 当y=0时，$-x^2+2x+3=0$
解得$x_{1}=-1，$$x_{2}=3$
∵点A在点B的左侧
∴点A、B的坐标分别为(-1，0)、(3，0)
当x=0时，y=3
∴点C的坐标为(0，3)
设直线AC相应的函数表达式为$y=k_{1}x+b_{1}(k_{1}≠0)$
由A、C两点的坐标，可求得直线AC相应的函数表达式为y= 3x+3
∵$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$
∴顶点D的坐标为(1，4)
(2) 图像上有三个这样的点Q
如图，①当点Q 在点Q 1位置时，点Q 1的纵坐标为3，
代入二次函数表达式，可得点$Q_{1} $的坐标为(2，3)；
②当点Q 在点$Q_{2}$位置时，点Q 2的纵坐标为-3，
代入二次函数表达式，可得点Q 2的坐标为$(1+ \sqrt{7}，$-3)；
③当点Q 在点$Q_{3} $位置时，点$Q_{3} $的纵坐标为-3，
代入二次函数表达式，可得点$Q_{3} $的坐标为$(1-\sqrt 7，$-3)
∴满足题意的点Q 有：(2，3)、$(1+ \sqrt{7}，$-3)、$(1 -\sqrt{7}，$-3)
解得$x_{1}=-1，$$x_{2}=3$
∵点A在点B的左侧
∴点A、B的坐标分别为(-1，0)、(3，0)
当x=0时，y=3
∴点C的坐标为(0，3)
设直线AC相应的函数表达式为$y=k_{1}x+b_{1}(k_{1}≠0)$
由A、C两点的坐标，可求得直线AC相应的函数表达式为y= 3x+3
∵$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$
∴顶点D的坐标为(1，4)
(2) 图像上有三个这样的点Q
如图，①当点Q 在点Q 1位置时，点Q 1的纵坐标为3，
代入二次函数表达式，可得点$Q_{1} $的坐标为(2，3)；
②当点Q 在点$Q_{2}$位置时，点Q 2的纵坐标为-3，
代入二次函数表达式，可得点Q 2的坐标为$(1+ \sqrt{7}，$-3)；
③当点Q 在点$Q_{3} $位置时，点$Q_{3} $的纵坐标为-3，
代入二次函数表达式，可得点$Q_{3} $的坐标为$(1-\sqrt 7，$-3)
∴满足题意的点Q 有：(2，3)、$(1+ \sqrt{7}，$-3)、$(1 -\sqrt{7}，$-3)
