9. 如图,菱形$ABCD$的边长为$2\mathrm{cm}$,$\angle DAB = 60^{\circ}$.点$P$从点$A$出发,以$\sqrt{3}\mathrm{cm}/\mathrm{s}$的速度沿$AC$向点$C$运动;与此同时,点$Q$也从点$A$出发,以$1\mathrm{cm}/\mathrm{s}$的速度沿射线$AB$运动.当点$P$运动到点$C$时,点$P$、$Q$都停止运动.设点$P$运动的时间为$t\mathrm{s}$.
(1)当点$P$异于点$A$、$C$时,请说明$\triangle PAQ \backsim \triangle CAB$;
(2)以点$P$为圆心,$PQ$长为半径作圆.在整个运动过程中,当$t$为何值时,$\odot P$与边$BC$分别有$1$个公共点和$2$个公共点?
(1)当点$P$异于点$A$、$C$时,请说明$\triangle PAQ \backsim \triangle CAB$;
(2)以点$P$为圆心,$PQ$长为半径作圆.在整个运动过程中,当$t$为何值时,$\odot P$与边$BC$分别有$1$个公共点和$2$个公共点?
答案
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2
∴AB=BC=2，$∠BAC= \frac 12∠DAB$
又∵∠DAB=60°
∴∠BAC=∠BCA=30°
如图①，连接BD交AC于点O
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，$OA=\frac {1}{2}\ \mathrm {AC}$
∴$OB=\frac {1}{2}\ \mathrm {AB}=1$
∴$OA=\sqrt 3，$$AC=2OA=2\sqrt{3}$
运动ts 后，$AP=\sqrt{3}\ \mathrm {t}，$AQ=t
∴$\frac {AP}{AQ}=\frac {AC}{AB}=\sqrt 3$
又∵∠PAQ=∠CAB
∴△PAQ∽△CAB
∴∠APQ=∠ACB
(2)如图②，$\odot P $与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC
在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°
∴$PM=\frac {1}{2}\ \mathrm {PC}=\sqrt{3} - \frac {\sqrt{3}}{2}\ \mathrm {t}$
由PM=PQ=AQ=t，即$\sqrt 3- \frac {\sqrt{3}}{2}\ \mathrm {t}=t$
解得$t=4 \sqrt{3} -6$
此时$\odot P $与边BC有一个公共点
如图③，OP 过点B，此时PQ=PB
∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°
∴△PQB为等边三角形
∴QB=PQ=AQ=t
∴t=1
∴当$4 \sqrt{3} -6\lt ≤1$时，$\odot P $与边BC有两个公共点
如图④，⊙P 过点C，此时PC=PQ，即$2 \sqrt{3} - \sqrt{3}\ \mathrm {t}=t$
∴$t=3-\sqrt{3} $
∴当$1\lt t≤3-\sqrt{3} $时，$\odot P $与边BC有一个公共点
当点P 运动到点C，即t=2时，点Q 、点B重合，$\odot P $过点B，此时$\odot P $与边BC有一个公共点
综上所述，当$t=4 \sqrt{3} -6$或$1\lt t\lt 3-\sqrt{3} $或t=2时，$\odot P $与菱形ABCD的边BC有一个公共点；
当$4 \sqrt{3} -6\lt t≤1$时，$\odot P $与边BC有两个公共点
