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1. (1) $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}}=$，$\sqrt{\frac{4}{25}}=\sqrt{(\frac{}{})^2}=$；
(2) $\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{100}}=$，$\sqrt{\frac{49}{100}}=\sqrt{(\frac{}{})^2}=$。
用符号语言表示由上式计算得到的猜想，并与同学交流尝试证明。
(2) $\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{100}}=$，$\sqrt{\frac{49}{100}}=\sqrt{(\frac{}{})^2}=$。
用符号语言表示由上式计算得到的猜想，并与同学交流尝试证明。
答案
(1) $\frac{2}{5}$，$\frac{2}{5}$，$\frac{2}{5}$；
(2) $\frac{7}{10}$，$\frac{7}{10}$，$\frac{7}{10}$；
猜想：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$）。
证明：设$\sqrt{a}=m$，$\sqrt{b}=n$（$m≥0$，$n＞0$），则$a=m^2$，$b=n^2$，
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{m}{n}$，$\sqrt{\frac{a}{b}}=\sqrt{\frac{m^2}{n^2}}=\frac{m}{n}$，
所以$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$。
(2) $\frac{7}{10}$，$\frac{7}{10}$，$\frac{7}{10}$；
猜想：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$）。
证明：设$\sqrt{a}=m$，$\sqrt{b}=n$（$m≥0$，$n＞0$），则$a=m^2$，$b=n^2$，
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{m}{n}$，$\sqrt{\frac{a}{b}}=\sqrt{\frac{m^2}{n^2}}=\frac{m}{n}$，
所以$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$。
解析
【解析】
(1) 计算$\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}}$，因为$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{25}=5$，所以结果为$\frac{2}{5}$；$\sqrt{\frac{4}{25}}=\sqrt{(\frac{2}{5})^2}$，根据算术平方根的性质，结果为$\frac{2}{5}$。
(2) 计算$\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{100}}$，因为$\sqrt{49}=7$，$\sqrt{100}=10$，所以结果为$\frac{7}{10}$；$\sqrt{\frac{49}{100}}=\sqrt{(\frac{7}{10})^2}$，根据算术平方根的性质，结果为$\frac{7}{10}$。
通过上述计算猜想：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$）。
证明：设$\sqrt{a}=m$，$\sqrt{b}=n$（$m≥0$，$n＞0$），则$a=m^2$，$b=n^2$，
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{m}{n}$，$\sqrt{\frac{a}{b}}=\sqrt{\frac{m^2}{n^2}}=\frac{m}{n}$，
所以$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$。
【答案】
(1) $\frac{2}{5}$，$\frac{2}{5}$，$\frac{2}{5}$；
(2) $\frac{7}{10}$，$\frac{7}{10}$，$\frac{7}{10}$；
猜想：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$）。
证明：设$\sqrt{a}=m$，$\sqrt{b}=n$（$m≥0$，$n＞0$），则$a=m^2$，$b=n^2$，
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{m}{n}$，$\sqrt{\frac{a}{b}}=\sqrt{\frac{m^2}{n^2}}=\frac{m}{n}$，
所以$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$。
【知识点】
二次根式的除法法则，算术平方根的性质
【点评】
本题通过具体算术平方根的计算，引导归纳并证明二次根式的除法法则，帮助理解法则的推导逻辑，夯实二次根式运算的基础。
【难度系数】
0.8
(1) 计算$\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}}$，因为$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{25}=5$，所以结果为$\frac{2}{5}$；$\sqrt{\frac{4}{25}}=\sqrt{(\frac{2}{5})^2}$，根据算术平方根的性质，结果为$\frac{2}{5}$。
(2) 计算$\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{100}}$，因为$\sqrt{49}=7$，$\sqrt{100}=10$，所以结果为$\frac{7}{10}$；$\sqrt{\frac{49}{100}}=\sqrt{(\frac{7}{10})^2}$，根据算术平方根的性质，结果为$\frac{7}{10}$。
通过上述计算猜想：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$）。
证明：设$\sqrt{a}=m$，$\sqrt{b}=n$（$m≥0$，$n＞0$），则$a=m^2$，$b=n^2$，
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{m}{n}$，$\sqrt{\frac{a}{b}}=\sqrt{\frac{m^2}{n^2}}=\frac{m}{n}$，
所以$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$。
【答案】
(1) $\frac{2}{5}$，$\frac{2}{5}$，$\frac{2}{5}$；
(2) $\frac{7}{10}$，$\frac{7}{10}$，$\frac{7}{10}$；
猜想：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$）。
证明：设$\sqrt{a}=m$，$\sqrt{b}=n$（$m≥0$，$n＞0$），则$a=m^2$，$b=n^2$，
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{m}{n}$，$\sqrt{\frac{a}{b}}=\sqrt{\frac{m^2}{n^2}}=\frac{m}{n}$，
所以$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$。
【知识点】
二次根式的除法法则，算术平方根的性质
【点评】
本题通过具体算术平方根的计算，引导归纳并证明二次根式的除法法则，帮助理解法则的推导逻辑，夯实二次根式运算的基础。
【难度系数】
0.8
2. 计算：
(1) $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}$；
(2) $\sqrt{54}÷\sqrt{3}$。
(1) $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}$；
(2) $\sqrt{54}÷\sqrt{3}$。
答案
$(1) 2 (2) 3\sqrt{2}$
解析
【解析】
(1) 根据二次根式的除法法则$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$），可得：
$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{8}{2}}=\sqrt{4}=2$；
(2) 根据二次根式的除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{a÷b}$（$a≥0$，$b＞0$），可得：
$\sqrt{54}÷\sqrt{3}=\sqrt{54÷3}=\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{3\sqrt{2}}$
【知识点】
二次根式的除法法则、二次根式的化简
【点评】
本题考查二次根式的除法运算，熟练掌握二次根式的除法法则以及二次根式的化简方法是解题的关键。
【难度系数】
0.9
(1) 根据二次根式的除法法则$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$），可得：
$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{8}{2}}=\sqrt{4}=2$；
(2) 根据二次根式的除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{a÷b}$（$a≥0$，$b＞0$），可得：
$\sqrt{54}÷\sqrt{3}=\sqrt{54÷3}=\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{3\sqrt{2}}$
【知识点】
二次根式的除法法则、二次根式的化简
【点评】
本题考查二次根式的除法运算，熟练掌握二次根式的除法法则以及二次根式的化简方法是解题的关键。
【难度系数】
0.9
活动二：比一比 说一说
1. 如何利用二次根式除法的性质进行化简？
2. 化简：
(1) $\sqrt{\frac{81}{121}}$；
(2) $\sqrt{2\frac{2a}{3}}(a≥0)$。
1. 如何利用二次根式除法的性质进行化简？
2. 化简：
(1) $\sqrt{\frac{81}{121}}$；
(2) $\sqrt{2\frac{2a}{3}}(a≥0)$。
答案
1. 利用二次根式除法性质 $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$（$A≥0,B＞0$）对二次根式进行化简。
2. (1)
$\sqrt{\frac{81}{121}}=\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{121}}=\frac{9}{11}$
(2)
$\sqrt{2\frac{2a}{3}}=\sqrt{\frac{6 + 2a}{3}}=\frac{\sqrt{6 + 2a}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6 + 2a}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{18 + 6a}}{3}$
2. (1)
$\sqrt{\frac{81}{121}}=\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{121}}=\frac{9}{11}$
(2)
$\sqrt{2\frac{2a}{3}}=\sqrt{\frac{6 + 2a}{3}}=\frac{\sqrt{6 + 2a}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6 + 2a}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{18 + 6a}}{3}$
解析
【解析】
1. 利用二次根式除法性质$\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$（$A≥0,B＞0$）对二次根式进行化简，若化简后分母含有根号，还需进行分母有理化。
2. (1) 根据二次根式除法性质拆分后计算：
$\sqrt{\frac{81}{121}}=\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{121}}=\frac{9}{11}$
(2) 先将带分数化为假分数，再利用二次根式除法性质拆分，最后分母有理化：
$\sqrt{2\frac{2a}{3}}=\sqrt{\frac{6 + 2a}{3}}=\frac{\sqrt{6 + 2a}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6 + 2a}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{18 + 6a}}{3}$
【答案】
1. 利用二次根式除法性质$\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$（$A≥0,B＞0$）对二次根式进行化简，必要时进行分母有理化。
2. (1) $\frac{9}{11}$；(2) $\frac{\sqrt{18 + 6a}}{3}$
【知识点】
二次根式除法性质、二次根式化简
【点评】
本题考查二次根式除法性质的理解与运用，需牢记性质成立的条件，处理带分数时要先化为假分数，分母含根号时需完成分母有理化，注重化简的规范性。
【难度系数】
0.7
1. 利用二次根式除法性质$\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$（$A≥0,B＞0$）对二次根式进行化简，若化简后分母含有根号，还需进行分母有理化。
2. (1) 根据二次根式除法性质拆分后计算：
$\sqrt{\frac{81}{121}}=\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{121}}=\frac{9}{11}$
(2) 先将带分数化为假分数，再利用二次根式除法性质拆分，最后分母有理化：
$\sqrt{2\frac{2a}{3}}=\sqrt{\frac{6 + 2a}{3}}=\frac{\sqrt{6 + 2a}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6 + 2a}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{18 + 6a}}{3}$
【答案】
1. 利用二次根式除法性质$\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$（$A≥0,B＞0$）对二次根式进行化简，必要时进行分母有理化。
2. (1) $\frac{9}{11}$；(2) $\frac{\sqrt{18 + 6a}}{3}$
【知识点】
二次根式除法性质、二次根式化简
【点评】
本题考查二次根式除法性质的理解与运用，需牢记性质成立的条件，处理带分数时要先化为假分数，分母含根号时需完成分母有理化，注重化简的规范性。
【难度系数】
0.7
1. 下列计算中，正确的是(
A.$\sqrt{\frac{5}{9}}=\frac{5}{3}$
B.$\sqrt{4\frac{1}{25}}=2\frac{1}{5}$
C.$\sqrt{2\frac{2}{3}}÷\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{2}$
D.$\sqrt{18}÷\sqrt{2}=3$
D
)A.$\sqrt{\frac{5}{9}}=\frac{5}{3}$
B.$\sqrt{4\frac{1}{25}}=2\frac{1}{5}$
C.$\sqrt{2\frac{2}{3}}÷\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{2}$
D.$\sqrt{18}÷\sqrt{2}=3$
答案
D
解析
【解析】
逐个分析选项：
A. $\sqrt{\frac{5}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}≠\frac{5}{3}$，故A错误；
B. $4\frac{1}{25}=\frac{101}{25}$，$\sqrt{\frac{101}{25}}=\frac{\sqrt{101}}{5}≠2\frac{1}{5}$，故B错误；
C. $\sqrt{2\frac{2}{3}}÷\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{8}{3}÷\frac{1}{3}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}≠\sqrt{2}$，故C错误；
D. $\sqrt{18}÷\sqrt{2}=\sqrt{18÷2}=\sqrt{9}=3$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式化简、二次根式除法运算
【点评】
本题考查二次根式的化简与除法运算，需注意带分数先化为假分数，熟练掌握二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$），避免因运算规则混淆或带分数处理错误导致失分。
【难度系数】
0.7
逐个分析选项：
A. $\sqrt{\frac{5}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}≠\frac{5}{3}$，故A错误；
B. $4\frac{1}{25}=\frac{101}{25}$，$\sqrt{\frac{101}{25}}=\frac{\sqrt{101}}{5}≠2\frac{1}{5}$，故B错误；
C. $\sqrt{2\frac{2}{3}}÷\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{8}{3}÷\frac{1}{3}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}≠\sqrt{2}$，故C错误；
D. $\sqrt{18}÷\sqrt{2}=\sqrt{18÷2}=\sqrt{9}=3$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式化简、二次根式除法运算
【点评】
本题考查二次根式的化简与除法运算，需注意带分数先化为假分数，熟练掌握二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$），避免因运算规则混淆或带分数处理错误导致失分。
【难度系数】
0.7
