2. 计算：
(1) $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}$；
(2) $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{6}}$；
(3) $\sqrt{24}÷\sqrt{6}$。

2. (1) $\sqrt{5}$ (2) $2\sqrt{3}$ (3) 2

【解析】
(1) 根据二次根式的除法法则，$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{10}{2}}=\sqrt{5}$；
(2) $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{72}{6}}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$；
(3) $\sqrt{24}÷\sqrt{6}=\sqrt{\frac{24}{6}}=\sqrt{4}=2$。
【答案】
(1) $\sqrt{5}$；(2) $2\sqrt{3}$；(3) 2
【知识点】
二次根式的除法法则、最简二次根式化简
【点评】
本题主要考查二次根式的除法运算，熟练掌握二次根式的除法法则$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$），并注意将运算结果化为最简二次根式是解题关键，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

3. 化简：
(1) $\sqrt{\frac{25}{16}}$；
(2) $\sqrt{\frac{3}{25}}$；
(3) $\sqrt{\frac{81b}{36}}(b≥0)$。

3. (1) $\frac{5}{4}$ (2) $\frac{\sqrt{3}}{5}$ (3) $\frac{3\sqrt{b}}{2}$

【解析】
(1) 根据二次根式的除法性质$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0$，$b＞0$），可得：
$\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}=\frac{5}{4}$；
(2) 同理：
$\sqrt{\frac{3}{25}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{25}}=\frac{\sqrt{3}}{5}$；
(3) 先化简分数，再利用二次根式的性质：
$\sqrt{\frac{81b}{36}}=\sqrt{\frac{9b}{4}}=\frac{\sqrt{9b}}{\sqrt{4}}=\frac{3\sqrt{b}}{2}$（$b≥0$）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{5}{4}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{\sqrt{3}}{5}}$；(3) $\boldsymbol{\frac{3\sqrt{b}}{2}}$
【知识点】
二次根式的化简、算术平方根的性质
【点评】
本题考查二次根式的基础化简，需熟练掌握二次根式的除法法则，注意被开方数的非负性，侧重对基本性质的应用，题目较为基础。
【难度系数】
0.8

1. 已知一个三角形的面积为$\sqrt{12}$，一边长为$\sqrt{3}$，这条边上的高为()

A.4
B.2
C.$\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{2}$

A

【解析】
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（其中$S$为面积，$a$为底边长，$h$为这条边上的高），已知$S=\sqrt{12}$，$a=\sqrt{3}$，设这条边上的高为$h$，代入公式得：
$\sqrt{12}=\frac{1}{2}×\sqrt{3}× h$
化简$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，则：
$2\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}h$
两边同时除以$\sqrt{3}$，得$2=\frac{1}{2}h$，解得$h=4$。
【答案】
A
【知识点】
三角形面积公式，二次根式运算
【点评】
本题主要考查三角形面积公式的逆用及二次根式的运算，属于基础题型，熟练掌握相关公式和运算规则即可轻松求解。
【难度系数】
0.8

2. 已知$\sqrt{\frac{x - 1}{x - 2}}=\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 2}}$，那么$x$的取值范围是()

A.$1≤ x＜2$
B.$1≤ x≤2$
C.$x＞2$
D.$x≥2$

C

【解析】
根据二次根式有意义的条件及分式分母不为0的要求，等式$\sqrt{\frac{x - 1}{x - 2}}=\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 2}}$成立需满足：
$\begin{cases}x - 1 ≥ 0 \\x - 2 ＞ 0\end{cases}$
解不等式组：
由$x - 1 ≥ 0$得$x ≥ 1$；
由$x - 2 ＞ 0$得$x ＞ 2$；
取两个不等式的交集，得$x ＞ 2$。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件，分式有意义的条件
【点评】
本题考查二次根式与分式有意义的综合应用，关键在于明确分母中的二次根式不仅要被开方数非负，还需保证分母不为0，即被开方数严格大于0，容易出错的点是忽略分母不能为0的条件误选D选项。
【难度系数】
0.7

3. 已知$a=\sqrt{\frac{2024}{2025}}$，$b=\sqrt{\frac{2025}{2026}}$，则$\frac{a}{b}$1(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)。

3. ＜

【解析】
要比较$\frac{a}{b}$与1的大小，先计算$\frac{a}{b}$：
$\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{\frac{2024}{2025}}}{\sqrt{\frac{2025}{2026}}}=\sqrt{\frac{2024}{2025}÷\frac{2025}{2026}}=\sqrt{\frac{2024×2026}{2025^2}}$
利用平方差公式计算$2024×2026=(2025-1)(2025+1)=2025^2-1$，则：
$\frac{2024×2026}{2025^2}=\frac{2025^2-1}{2025^2}=1-\frac{1}{2025^2}＜1$
因为一个小于1的正数的算术平方根小于1，所以$\sqrt{1-\frac{1}{2025^2}}＜1$，即$\frac{a}{b}＜1$。
【答案】
＜
【知识点】
二次根式的除法，平方差公式，实数大小比较
【点评】
本题考查二次根式的运算及实数大小比较，通过转化为比较被开方数的大小，结合平方差公式简化计算，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6

4. 计算：
(1) $\sqrt{4\frac{1}{2}}÷\sqrt{2\frac{1}{4}}$；
(2) $6\sqrt{72}÷(-3\sqrt{6})$。

$(1) \sqrt{2} (2) -4\sqrt{3}$

【解析】
(1) 先将带分数化为假分数：
$\sqrt{4\frac{1}{2}}÷\sqrt{2\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{9}{2}}÷\sqrt{\frac{9}{4}}$
根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{a÷b}$（$a≥0,b＞0$），可得：
原式$=\sqrt{\frac{9}{2}÷\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{9}{2}×\frac{4}{9}}=\sqrt{2}$
(2) 分别对系数和二次根式部分进行运算：
系数部分：$6÷(-3)=-2$
二次根式部分：$\sqrt{72}÷\sqrt{6}=\sqrt{72÷6}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
原式$=-2×2\sqrt{3}=-4\sqrt{3}$
【答案】
(1) $\sqrt{2}$；(2) $-4\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式的除法运算、二次根式的化简
【点评】
本题考查二次根式的除法运算，解题时需注意先将带分数化为假分数，对于系数与根式结合的除法，可分别对系数和根式部分进行计算，同时注意符号的处理，属于基础运算题。
【难度系数】
0.8

5. 化简：
(1) $\sqrt{\frac{x^2 - 4x + 4}{x^2}}(x＞2)$；
(2) $\frac{1}{1 - a}\sqrt{\frac{a^2 - 2a + 1}{a^2}}(a＞1)$。

5. (1) $\frac{x - 2}{x}$ (2) $-\frac{1}{a}$

【解析】
(1) 对被开方数的分子因式分解：
$x^2 - 4x + 4=(x-2)^2$，
因为$x＞2$，所以$x-2＞0$，$x＞0$，
则$\sqrt{\frac{x^2 - 4x + 4}{x^2}}=\sqrt{\frac{(x-2)^2}{x^2}}=\frac{|x-2|}{|x|}=\frac{x-2}{x}$。
(2) 对被开方数的分子因式分解：
$a^2 - 2a + 1=(a-1)^2$，
因为$a＞1$，所以$a-1＞0$，$a＞0$，
则$\sqrt{\frac{a^2 - 2a + 1}{a^2}}=\sqrt{\frac{(a-1)^2}{a^2}}=\frac{|a-1|}{|a|}=\frac{a-1}{a}$，
原式$\frac{1}{1 - a}×\frac{a-1}{a}=\frac{1}{-(a-1)}×\frac{a-1}{a}=-\frac{1}{a}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{x - 2}{x}}$；(2) $\boldsymbol{-\frac{1}{a}}$
【知识点】
二次根式的化简，绝对值的性质，完全平方公式
【点评】
本题主要考查二次根式的化简运算，需结合字母的取值范围去掉绝对值符号，因式分解是化简的关键，注意符号的正确处理。
【难度系数】
0.6